Страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.12 Составьте числовое выражение, значение которого равно 7, используя при этом:

а) только одно действие;

б) сложение и умножение;

в) вычитание и деление;

г) сложение и вычитание.

а) только одно действие
Чтобы составить числовое выражение, значение которого равно 7, используя только одно арифметическое действие, можно выбрать, например, сложение. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7. Например, это могут быть числа 3 и 4.
Таким образом, искомое выражение: $3 + 4$.
Проверим: $3 + 4 = 7$.
В качестве ответа можно было бы также использовать вычитание ($10 - 3$), умножение ($7 \times 1$) или деление ($14 \div 2$).
Ответ: $3 + 4$

б) сложение и умножение
Чтобы получить 7, используя сложение и умножение, нужно составить выражение, содержащее оба этих действия. Согласно порядку выполнения операций, сначала выполняется умножение, а затем сложение.
Подберем такое произведение, чтобы оно было близко к 7. Например, возьмем $2 \times 3 = 6$. Чтобы в итоге получить 7, к результату умножения нужно прибавить 1.
Составляем выражение: $2 \times 3 + 1$.
Проверим: $2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
Ответ: $2 \times 3 + 1$

в) вычитание и деление
Для составления выражения с вычитанием и делением, вспомним, что деление выполняется раньше вычитания.
Можно найти частное двух чисел, например, $10 \div 2 = 5$. Теперь нужно определить, из какого числа следует вычесть 5, чтобы получить 7. Это число 12, так как $12 - 5 = 7$.
Таким образом, получаем выражение: $12 - 10 \div 2$.
Проверим: $12 - 10 \div 2 = 12 - 5 = 7$.
Другой пример: $(21 - 7) \div 2 = 14 \div 2 = 7$.
Ответ: $12 - 10 \div 2$

г) сложение и вычитание
Чтобы составить выражение, равное 7, используя сложение и вычитание, можно оттолкнуться от простого равенства, например, $5 + 2 = 7$. Теперь нужно ввести операцию вычитания. Для этого можно представить одно из слагаемых в виде разности.
Например, представим число 5 как разность $10 - 5$.
Подставив это в исходное равенство, получим выражение: $10 - 5 + 2$.
Проверим: $10 - 5 + 2 = 5 + 2 = 7$.
Ответ: $10 - 5 + 2$

1.13 Составьте числовое выражение, значение которого равно -2,5, используя при этом:

а) только одно действие;

б) сложение и деление;

в) вычитание и умножение;

г) сложение и вычитание.

а) только одно действие

Для того чтобы составить числовое выражение, значение которого равно -2,5, используя только одно действие, можно выбрать любое из четырех арифметических действий. Проще всего использовать вычитание.

Например, вычтем из нуля число 2,5:

$0 - 2,5 = -2,5$

Также можно было использовать деление:

$-5 : 2 = -2,5$

Ответ: $0 - 2,5$.

б) сложение и деление

Необходимо составить выражение, включающее и сложение, и деление. Это можно сделать двумя способами: $x + (y : z)$ или $(x + y) : z$. Выберем второй вариант. Пусть наше выражение имеет вид $(x + y) : z = -2,5$.

Подберем простые числа. Например, пусть делитель $z = 2$. Тогда сумма в скобках $(x + y)$ должна быть равна $-2,5 \cdot 2 = -5$.

Теперь подберем числа $x$ и $y$, сумма которых равна -5. Например, $x = -2$ и $y = -3$.

Получаем выражение:

$(-2 + (-3)) : 2 = -5 : 2 = -2,5$

Ответ: $(-2 + (-3)) : 2$.

в) вычитание и умножение

Нужно составить выражение, используя вычитание и умножение. Структура может быть $x - (y \cdot z)$ или $(x - y) \cdot z$. Выберем второй вариант: $(x - y) \cdot z = -2,5$.

Подберем множитель, например, $z = 5$. Тогда разность в скобках $(x - y)$ должна быть равна $-2,5 : 5 = -0,5$.

Теперь найдем числа $x$ и $y$, разность которых равна -0,5. Например, $x = 1$ и $y = 1,5$.

Составим и проверим выражение:

$(1 - 1,5) \cdot 5 = -0,5 \cdot 5 = -2,5$

Ответ: $(1 - 1,5) \cdot 5$.

г) сложение и вычитание

Для составления выражения со сложением и вычитанием, нам понадобится как минимум три числа. Выражение будет иметь вид $x + y - z$ или $x - y + z$.

Возьмем простую комбинацию. Например, сначала сложим два числа, а затем из результата вычтем третье, чтобы получилось -2,5.

Пусть $x=1$ и $y=1,5$. Их сумма $x + y = 1 + 1,5 = 2,5$.

Теперь нужно найти такое число $z$, чтобы $2,5 - z = -2,5$. Отсюда $z = 2,5 - (-2,5) = 5$.

Получаем выражение:

$1 + 1,5 - 5 = 2,5 - 5 = -2,5$

Ответ: $1 + 1,5 - 5$.

1.14 Какие свойства действий позволяют, не выполняя вычислений, утверждать, что верны равенства:

а) $247 + 35 = 35 + 247;$

б) $96 \cdot 18 = 18 \cdot 96;$

в) $14 + (21 + 971) = (14 + 21) + 971;$

г) $13 \cdot (4 + 18) = 13 \cdot 4 + 13 \cdot 18? $

а) В данном равенстве $247 + 35 = 35 + 247$ показано переместительное (коммутативное) свойство сложения. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. В общем виде это свойство записывается формулой: $a + b = b + a$.
Ответ: переместительное свойство сложения.

б) Равенство $96 \cdot 18 = 18 \cdot 96$ является примером переместительного (коммутативного) свойства умножения. Согласно этому свойству, от перемены мест множителей произведение не изменяется. В общем виде это свойство можно записать как: $a \cdot b = b \cdot a$.
Ответ: переместительное свойство умножения.

в) Равенство $14 + (21 + 971) = (14 + 21) + 971$ демонстрирует сочетательное (ассоциативное) свойство сложения. Оно позволяет группировать слагаемые произвольным образом, результат при этом остается неизменным. Формула для этого свойства: $a + (b + c) = (a + b) + c$.
Ответ: сочетательное свойство сложения.

г) Здесь мы видим распределительное (дистрибутивное) свойство умножения относительно сложения: $13 \cdot (4 + 18) = 13 \cdot 4 + 13 \cdot 18$. Это свойство утверждает, что для умножения числа на сумму двух других чисел можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. В общем виде это свойство записывается так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения.

Вычислите наиболее рациональным способом:

1.15 a) $\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3};$

б) $\left(\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}\right) \cdot 14;$

в) $3\frac{2}{5} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot 5 \cdot 7;$

г) $\left(12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}\right) : 2.$

а) $ \frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} $

Наиболее рациональный способ — сгруппировать слагаемые с одинаковыми знаменателями дробей, используя переместительное и сочетательное свойства сложения. Также можно отдельно сложить целые и дробные части.

$ \frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{2} + 1\frac{1}{3} = (\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2}) + (2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3}) $

Сначала сложим числа с дробной частью $\frac{1}{2}$:

$ \frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 1 + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2 $

Теперь сложим числа с дробной частью $\frac{1}{3}$:

$ 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{3} = (2+1) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 3 + \frac{3}{3} = 3+1 = 4 $

Сложим полученные результаты:

$ 2 + 4 = 6 $

Ответ: $6$

б) $ (\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}) \cdot 14 $

Наиболее рациональный способ — использовать распределительное свойство умножения. Умножим каждый член в скобках на 14.

$ (\frac{3}{14} - \frac{2}{7} + \frac{1}{2}) \cdot 14 = \frac{3}{14} \cdot 14 - \frac{2}{7} \cdot 14 + \frac{1}{2} \cdot 14 $

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$ \frac{3 \cdot 14}{14} - \frac{2 \cdot 14}{7} + \frac{1 \cdot 14}{2} = 3 - (2 \cdot 2) + 7 $

Теперь выполним вычитание и сложение:

$ 3 - 4 + 7 = -1 + 7 = 6 $

Ответ: $6$

в) $ 3\frac{2}{5} \cdot 2\frac{3}{7} \cdot 5 \cdot 7 $

Наиболее рациональный способ — сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, а затем использовать переместительное и сочетательное свойства умножения, чтобы сгруппировать множители для сокращения.

Преобразуем смешанные числа:

$ 3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5} $

$ 2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7} $

Подставим обратно в выражение и сгруппируем множители:

$ \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{7} \cdot 5 \cdot 7 = (\frac{17}{5} \cdot 5) \cdot (\frac{17}{7} \cdot 7) $

Выполним сокращение и умножение:

$ 17 \cdot 17 = 289 $

Ответ: $289$

г) $ (12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}) : 2 $

Наиболее рациональный способ — использовать распределительное свойство деления. Разделим каждый член в скобках на 2.

$ (12\frac{2}{9} + 24\frac{2}{3} - 16\frac{2}{15}) : 2 = 12\frac{2}{9} : 2 + 24\frac{2}{3} : 2 - 16\frac{2}{15} : 2 $

Разделим каждое слагаемое. Для этого можно разделить целую и дробную часть смешанного числа на 2 по отдельности:

$ 12\frac{2}{9} : 2 = (12 + \frac{2}{9}) : 2 = 12:2 + \frac{2}{9}:2 = 6 + \frac{1}{9} = 6\frac{1}{9} $

$ 24\frac{2}{3} : 2 = (24 + \frac{2}{3}) : 2 = 24:2 + \frac{2}{3}:2 = 12 + \frac{1}{3} = 12\frac{1}{3} $

$ 16\frac{2}{15} : 2 = (16 + \frac{2}{15}) : 2 = 16:2 + \frac{2}{15}:2 = 8 + \frac{1}{15} = 8\frac{1}{15} $

Теперь выполним сложение и вычитание полученных чисел:

$ 6\frac{1}{9} + 12\frac{1}{3} - 8\frac{1}{15} $

Сложим и вычтем целые части отдельно, а дробные — отдельно:

$ (6+12-8) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}) $

Целая часть: $6+12-8 = 10$.

Дробная часть: $\frac{1}{9} + \frac{1}{3} - \frac{1}{15}$. Общий знаменатель для 9, 3 и 15 — это 45.

$ \frac{1 \cdot 5}{45} + \frac{1 \cdot 15}{45} - \frac{1 \cdot 3}{45} = \frac{5+15-3}{45} = \frac{17}{45} $

Соединяем целую и дробную части:

$ 10 + \frac{17}{45} = 10\frac{17}{45} $

Ответ: $10\frac{17}{45}$

1.16 а) $4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5;$

б) $7,3 + 1,6 - 0,3 - 0,6;$

в) $-1,06 + 0,04 - 7,04 + 2,16;$

г) $18,9 - 6,8 - 5,2 + 4,1.$

а) Для решения данного примера сгруппируем слагаемые для удобства вычислений. Объединим числа с двумя знаками после запятой и числа с одним знаком после запятой, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.

$ 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = (4,16 + 6,04) + (2,5 + 3,5) $

Выполним сложение в первой скобке:

$ 4,16 + 6,04 = 10,20 $

Выполним сложение во второй скобке:

$ 2,5 + 3,5 = 6,0 $

Теперь сложим полученные результаты:

$ 10,20 + 6,0 = 16,2 $

Ответ: 16,2

б) Для удобства вычислений сгруппируем числа так, чтобы действия упростились. Сгруппируем $ 7,3 $ с $ -0,3 $ и $ 1,6 $ с $ -0,6 $.

$ 7,3 + 1,6 - 0,3 - 0,6 = (7,3 - 0,3) + (1,6 - 0,6) $

Выполним вычисление в первой скобке:

$ 7,3 - 0,3 = 7,0 $

Выполним вычисление во второй скобке:

$ 1,6 - 0,6 = 1,0 $

Сложим полученные результаты:

$ 7,0 + 1,0 = 8 $

Ответ: 8

в) Сгруппируем слагаемые: отдельно положительные числа и отдельно отрицательные числа.

$ -1,06 + 0,04 - 7,04 + 2,16 = (0,04 + 2,16) + (-1,06 - 7,04) $

Выполним сложение положительных чисел:

$ 0,04 + 2,16 = 2,20 $

Выполним сложение отрицательных чисел:

$ -1,06 - 7,04 = -(1,06 + 7,04) = -8,10 $

Теперь сложим полученные результаты:

$ 2,20 + (-8,10) = 2,20 - 8,10 = -5,9 $

Ответ: -5,9

г) Сгруппируем слагаемые: отдельно положительные числа и отдельно отрицательные числа, которые затем вычтем.

$ 18,9 - 6,8 - 5,2 + 4,1 = (18,9 + 4,1) - (6,8 + 5,2) $

Выполним сложение в первой скобке:

$ 18,9 + 4,1 = 23,0 $

Выполним сложение во второй скобке:

$ 6,8 + 5,2 = 12,0 $

Теперь выполним вычитание:

$ 23,0 - 12,0 = 11 $

Ответ: 11

1.17 a) $7,8 \cdot 6,3 + 7,8 \cdot 13,7;$

б) $42,4 \cdot \frac{3}{4} - 2,4 \cdot \frac{3}{4};$

в) $17,96 \cdot 0,1 - 0,1 \cdot 81,96;$

г) $6 \frac{1}{5} \cdot 4,8 + 6 \frac{1}{5} \cdot 5,2.$

а) В выражении $7,8 \cdot 6,3 + 7,8 \cdot 13,7$ можно заметить общий множитель $7,8$. Применим распределительное свойство умножения относительно сложения ($a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$) и вынесем общий множитель за скобки.
$7,8 \cdot 6,3 + 7,8 \cdot 13,7 = 7,8 \cdot (6,3 + 13,7)$.
Сначала выполним действие в скобках:
$6,3 + 13,7 = 20$.
Теперь умножим полученный результат на общий множитель:
$7,8 \cdot 20 = 156$.
Ответ: 156.

б) В выражении $42,4 \cdot \frac{3}{4} - 2,4 \cdot \frac{3}{4}$ общим множителем является дробь $\frac{3}{4}$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$).
$42,4 \cdot \frac{3}{4} - 2,4 \cdot \frac{3}{4} = (42,4 - 2,4) \cdot \frac{3}{4}$.
Выполним вычитание в скобках:
$42,4 - 2,4 = 40$.
Теперь умножим результат на общий множитель:
$40 \cdot \frac{3}{4} = \frac{40 \cdot 3}{4} = 10 \cdot 3 = 30$.
Ответ: 30.

в) В выражении $17,96 \cdot 0,1 - 0,1 \cdot 81,96$ общий множитель равен $0,1$. Вынесем его за скобки.
$17,96 \cdot 0,1 - 0,1 \cdot 81,96 = 0,1 \cdot (17,96 - 81,96)$.
Вычислим значение в скобках:
$17,96 - 81,96 = -64$.
Теперь выполним умножение:
$0,1 \cdot (-64) = -6,4$.
Ответ: -6,4.

г) В выражении $6\frac{1}{5} \cdot 4,8 + 6\frac{1}{5} \cdot 5,2$ общим множителем является смешанное число $6\frac{1}{5}$. Вынесем его за скобки.
$6\frac{1}{5} \cdot 4,8 + 6\frac{1}{5} \cdot 5,2 = 6\frac{1}{5} \cdot (4,8 + 5,2)$.
Найдем сумму в скобках:
$4,8 + 5,2 = 10$.
Для удобства вычисления переведем смешанное число $6\frac{1}{5}$ в десятичную дробь. Так как $\frac{1}{5} = 0,2$, то $6\frac{1}{5} = 6,2$.
Выполним умножение:
$6,2 \cdot 10 = 62$.
Ответ: 62.

1.18 Найдите:

а) число секунд в $a$ часах;

б) число минут в $x$ сутках;

в) скорость в метрах в минуту, если она равна $x\text{ км/ч}$;

г) скорость в километрах в час, если она равна $u\text{ м/с}$.

а) Чтобы найти число секунд в a часах, нужно знать, сколько секунд в одном часе. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд. Таким образом, количество секунд в одном часе равно произведению $60 \times 60 = 3600$ секунд.

Следовательно, в a часах будет в a раз больше секунд: $a \times 3600$.

Ответ: $3600a$ секунд.

б) Чтобы найти число минут в x сутках, определим количество минут в одних сутках. В сутках 24 часа, а в каждом часе 60 минут. Значит, в одних сутках $24 \times 60 = 1440$ минут.

Соответственно, в x сутках будет $x \times 1440$ минут.

Ответ: $1440x$ минут.

в) Требуется перевести скорость $x$ км/ч в метры в минуту (м/мин). Для этого нужно преобразовать единицы измерения расстояния и времени. Мы знаем, что 1 км = 1000 м и 1 час = 60 минут.

Подставим эти значения в исходное выражение скорости и упростим его: $x \frac{\text{км}}{\text{ч}} = x \frac{1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{1000x}{60} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{100x}{6} \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{50x}{3} \frac{\text{м}}{\text{мин}}$.

Ответ: $\frac{50x}{3}$ м/мин.

г) Требуется перевести скорость u м/с в километры в час (км/ч). Для этого переведем метры в километры и секунды в часы. Мы знаем, что 1 км = 1000 м, следовательно, 1 м = $\frac{1}{1000}$ км. Также, 1 час = 3600 с, следовательно, 1 с = $\frac{1}{3600}$ ч.

Подставим эти значения в выражение скорости: $u \frac{\text{м}}{\text{с}} = u \frac{1/1000 \text{ км}}{1/3600 \text{ ч}}$.

Для упрощения дроби умножим числитель на перевернутый знаменатель: $u \times \frac{3600}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = u \times \frac{36}{10} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 3.6u \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Ответ: $3.6u$ км/ч.