Страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

220. Используя формулы сокращённого умножения, разложите на множители:

а) $b^2 - 4 + 5b - 10 = (b - 2)(b + 2) + 5(\dots) = \dots$

б) $x^2 - 25 + x^2 + 5x = (x - 5)(x + 5) + x(\dots) = \dots$

в) $4m^4 - n^2 + 2m^2 - n = \dots$

г) $25y^4 - 9z^2 - 5y^2 - 3z = \dots$

д) $x^3 - y^3 + x^2 - y^2 = \dots$

е) $y^3 + z^3 - y^2 - z^2 = \dots$

а) Для разложения на множители выражения $b^2 - 4 + 5b - 10$ сгруппируем слагаемые. Объединим первые два и последние два слагаемых:
$(b^2 - 4) + (5b - 10)$.
Первая группа, $b^2 - 4$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$b^2 - 2^2 = (b-2)(b+2)$.
Во второй группе, $5b - 10$, можно вынести за скобки общий множитель 5:
$5(b - 2)$.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$(b-2)(b+2) + 5(b-2)$.
Мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(b-2)$. Вынесем его за скобки:
$(b-2) \cdot ((b+2) + 5) = (b-2)(b+7)$.
Ответ: $(b-2)(b+7)$

б) Рассмотрим выражение $x^2 - 25 + x^2 + 5x$. Сначала сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 25) + (x^2 + 5x)$.
Выражение $x^2 - 25$ - это разность квадратов, которую раскладываем по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
В выражении $x^2 + 5x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x+5)$.
Получаем следующее выражение:
$(x-5)(x+5) + x(x+5)$.
Общий множитель $(x+5)$ можно вынести за скобки:
$(x+5) \cdot ((x-5) + x) = (x+5)(2x - 5)$.
Ответ: $(x+5)(2x-5)$

в) Разложим на множители выражение $4m^4 - n^2 + 2m^2 - n$. Сгруппируем слагаемые:
$(4m^4 - n^2) + (2m^2 - n)$.
Первая группа, $4m^4 - n^2$, представляет собой разность квадратов, так как $4m^4 = (2m^2)^2$. Используем формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(2m^2)^2 - n^2 = (2m^2 - n)(2m^2 + n)$.
Теперь выражение имеет вид:
$(2m^2 - n)(2m^2 + n) + (2m^2 - n)$.
Вынесем общий множитель $(2m^2 - n)$ за скобки:
$(2m^2 - n) \cdot ((2m^2 + n) + 1) = (2m^2 - n)(2m^2 + n + 1)$.
Ответ: $(2m^2 - n)(2m^2 + n + 1)$

г) Разложим на множители выражение $25y^4 - 9z^2 - 5y^2 - 3z$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(25y^4 - 9z^2) - (5y^2 + 3z)$.
Первая группа, $25y^4 - 9z^2$, является разностью квадратов, так как $25y^4 = (5y^2)^2$ и $9z^2 = (3z)^2$. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(5y^2)^2 - (3z)^2 = (5y^2 - 3z)(5y^2 + 3z)$.
Подставим это в наше выражение:
$(5y^2 - 3z)(5y^2 + 3z) - (5y^2 + 3z)$.
Теперь можно вынести общий множитель $(5y^2 + 3z)$ за скобки:
$(5y^2 + 3z) \cdot ((5y^2 - 3z) - 1) = (5y^2 + 3z)(5y^2 - 3z - 1)$.
Ответ: $(5y^2 + 3z)(5y^2 - 3z - 1)$

д) Разложим на множители выражение $x^3 - y^3 + x^2 - y^2$. Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - y^3) + (x^2 - y^2)$.
Первая группа, $x^3 - y^3$, — это разность кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Вторая группа, $x^2 - y^2$, — это разность квадратов:
$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Теперь выражение принимает вид:
$(x-y)(x^2 + xy + y^2) + (x-y)(x+y)$.
Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:
$(x-y) \cdot ((x^2 + xy + y^2) + (x+y)) = (x-y)(x^2 + xy + y^2 + x + y)$.
Ответ: $(x-y)(x^2 + xy + y^2 + x + y)$

е) Для разложения на множители выражения $y^3 + z^3 - y^2 - z^2$ сгруппируем слагаемые. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и оно должно выглядеть как $y^3 + z^3 - y^2 + z^2$, что позволяет использовать формулы сокращенного умножения. Решим исправленный вариант: $y^3 + z^3 - y^2 + z^2$.
Сгруппируем слагаемые:
$(y^3 + z^3) - (y^2 - z^2)$.
Первая группа, $y^3 + z^3$, является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$y^3 + z^3 = (y+z)(y^2 - yz + z^2)$.
Вторая группа, $y^2 - z^2$, является разностью квадратов:
$y^2 - z^2 = (y-z)(y+z)$.
Подставим разложения в наше выражение:
$(y+z)(y^2 - yz + z^2) - (y-z)(y+z)$.
Вынесем общий множитель $(y+z)$ за скобки:
$(y+z) \cdot ((y^2 - yz + z^2) - (y-z)) = (y+z)(y^2 - yz + z^2 - y + z)$.
Ответ: $(y+z)(y^2 - yz + z^2 - y + z)$

221*. Разложите на множители:

а) $a^2 - 2a - 3 = a^2 - 2a + 1 - 4 = (a - 1)^2 - 2^2 = (a - 1 - 2) \times (a - 1 + 2) = \ldots$

б) $a^2 - 2a - 3 = a^2 + a - 3a - 3 = \ldots$

в) $m^2 - 4m + 3 = \ldots$

г) $25y^2 - 24y - 1 = \ldots$

д) $x^4 - 5x^3 + 4x^2 = \ldots$

е) $z^3 + 7z^2 - z - 7 = \ldots$

а) $a^2 - 2a - 3 = a^2 - 2a + 1 - 4 = (a - 1)^2 - 2^2 = (a - 1 - 2)(a - 1 + 2) = (a - 3)(a + 1)$.
Данный метод называется выделением полного квадрата. Сначала мы представляем $-3$ как $+1 - 4$, чтобы получить формулу квадрата разности $(a-1)^2$. Затем применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Ответ: $(a - 3)(a + 1)$.

б) $a^2 - 2a - 3 = a^2 + a - 3a - 3 = (a^2 + a) - (3a + 3) = a(a + 1) - 3(a + 1) = (a - 3)(a + 1)$.
В этом способе мы раскладываем средний член $-2a$ на два слагаемых $a$ и $-3a$. Затем мы используем метод группировки: объединяем слагаемые в группы и выносим общий множитель из каждой группы. В конце выносим общий множитель-скобку.
Ответ: $(a - 3)(a + 1)$.

в) $m^2 - 4m + 3$.
Для разложения на множители представим средний член $-4m$ в виде суммы двух слагаемых: $-m - 3m$.
$m^2 - 4m + 3 = m^2 - m - 3m + 3$.
Сгруппируем слагаемые: $(m^2 - m) + (-3m + 3)$.
Вынесем общий множитель из каждой скобки: $m(m - 1) - 3(m - 1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(m - 1)$ за скобки: $(m - 1)(m - 3)$.
Ответ: $(m - 1)(m - 3)$.

г) $25y^2 - 24y - 1$.
Представим средний член $-24y$ в виде суммы слагаемых $-25y + y$.
$25y^2 - 24y - 1 = 25y^2 - 25y + y - 1$.
Сгруппируем слагаемые: $(25y^2 - 25y) + (y - 1)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы: $25y(y - 1) + 1(y - 1)$.
Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки: $(y - 1)(25y + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(25y + 1)$.

д) $x^4 - 5x^3 + 4x^2$.
Сначала вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^4 - 5x^3 + 4x^2 = x^2(x^2 - 5x + 4)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 4$. Представим $-5x$ как $-x - 4x$:
$x^2 - 5x + 4 = x^2 - x - 4x + 4 = (x^2 - x) + (-4x + 4) = x(x - 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x - 4)$.
Подставим полученное разложение в исходное выражение: $x^2(x - 1)(x - 4)$.
Ответ: $x^2(x - 1)(x - 4)$.

е) $z^3 + 7z^2 - z - 7$.
Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(z^3 + 7z^2) + (-z - 7)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$z^2(z + 7) - 1(z + 7)$.
Теперь вынесем общий множитель $(z + 7)$ за скобки:
$(z + 7)(z^2 - 1)$.
Выражение $z^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается на множители: $z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)$.
Окончательное разложение: $(z + 7)(z - 1)(z + 1)$.
Ответ: $(z + 7)(z - 1)(z + 1)$.