Страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

204. Примените формулу куба суммы:

$(a + 9)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 9 + 3 \cdot a \cdot 9^2 + 9^3;$

$(a + 10)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 10 + 3 \cdot a \cdot 10^2 + 10^3$

a) $(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + \dots$

б) $(x + 6)^3 = \dots + 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot \dots$

в) $(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \dots$

г) $(8 + m)^3 = \dots$

д) $(x + x^2)^3 = \dots$

Для решения всех пунктов используется формула куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

а) Для выражения $(a + 5)^3$ применим формулу, где $A = a$ и $B = 5$.
Подставляем значения в формулу:
$(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + 5^3$.
Теперь упростим полученное выражение:
$a^3 + 15a^2 + 3 \cdot a \cdot 25 + 125 = a^3 + 15a^2 + 75a + 125$.
Ответ: $a^3 + 15a^2 + 75a + 125$.

б) Для выражения $(x + 6)^3$ применим формулу, где $A = x$ и $B = 6$.
Подставляем значения в формулу:
$(x + 6)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 + 6^3$.
Упростим выражение:
$x^3 + 18x^2 + 3 \cdot x \cdot 36 + 216 = x^3 + 18x^2 + 108x + 216$.
Ответ: $x^3 + 18x^2 + 108x + 216$.

в) Для выражения $(x + 7)^3$ применим формулу, где $A = x$ и $B = 7$.
Подставляем значения в формулу:
$(x + 7)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 + 7^3$.
Упростим выражение:
$x^3 + 21x^2 + 3 \cdot x \cdot 49 + 343 = x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.
Ответ: $x^3 + 21x^2 + 147x + 343$.

г) Для выражения $(8 + m)^3$ применим формулу, где $A = 8$ и $B = m$.
Подставляем значения в формулу:
$(8 + m)^3 = 8^3 + 3 \cdot 8^2 \cdot m + 3 \cdot 8 \cdot m^2 + m^3$.
Упростим выражение:
$512 + 3 \cdot 64 \cdot m + 24m^2 + m^3 = 512 + 192m + 24m^2 + m^3$.
Запишем многочлен в стандартном виде, расположив слагаемые по убыванию степеней переменной $m$:
$m^3 + 24m^2 + 192m + 512$.
Ответ: $m^3 + 24m^2 + 192m + 512$.

д) Для выражения $(x + x^2)^3$ применим формулу, где $A = x$ и $B = x^2$.
Подставляем значения в формулу:
$(x + x^2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (x^2) + 3 \cdot x \cdot (x^2)^2 + (x^2)^3$.
Упростим выражение, используя свойства степеней $(a^m \cdot a^n = a^{m+n})$ и $((a^m)^n = a^{mn})$:
$x^3 + 3x^{2+2} + 3x^{1+4} + x^{2 \cdot 3} = x^3 + 3x^4 + 3x^5 + x^6$.
Запишем многочлен в стандартном виде по убыванию степеней переменной $x$:
$x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3$.
Ответ: $x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3$.

205. Запишите в виде многочлена стандартного вида:

а) $(a + 1)^3 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

б) $(a + 2)^3 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

в) $(a + 3)^3 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

г) $(a + 4)^3 = \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

Для того чтобы записать данные выражения в виде многочлена стандартного вида, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

а) В выражении $(a + 1)^3$ имеем $x=a$ и $y=1$. Применяем формулу:
$(a + 1)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 + 1^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1$.
Ответ: $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$

б) В выражении $(a + 2)^3$ имеем $x=a$ и $y=2$. Применяем формулу:
$(a + 2)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 3 \cdot a \cdot 4 + 8 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$.
Ответ: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

в) В выражении $(a + 3)^3$ имеем $x=a$ и $y=3$. Применяем формулу:
$(a + 3)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3 = a^3 + 9a^2 + 3 \cdot a \cdot 9 + 27 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.
Ответ: $a^3 + 9a^2 + 27a + 27$

г) В выражении $(a + 4)^3$ имеем $x=a$ и $y=4$. Применяем формулу:
$(a + 4)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 + 4^3 = a^3 + 12a^2 + 3 \cdot a \cdot 16 + 64 = a^3 + 12a^2 + 48a + 64$.
Ответ: $a^3 + 12a^2 + 48a + 64$

206. Запишите в виде куба суммы:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3$

a) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = \ldots$

б) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = \ldots$

в) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = \ldots$

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу куба суммы двух выражений: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Нам нужно сопоставить каждый из данных многочленов с этой формулой, чтобы найти значения $a$ и $b$.

а) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Сравним данное выражение с формулой $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член выражения $x^3$ соответствует $a^3$, из чего мы можем сделать вывод, что $a = x$.

Последний член выражения $1$ соответствует $b^3$, из чего следует, что $b = 1$, так как $1^3 = 1$.

Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения формуле при найденных $a$ и $b$:

• Второй член: $3a^2b = 3 \cdot x^2 \cdot 1 = 3x^2$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 1^2 = 3x$. Совпадает.

Все члены совпадают, следовательно, выражение является кубом суммы $x$ и $1$.

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$.

Ответ: $(x + 1)^3$.

б) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Снова используем формулу $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член $x^3$ соответствует $a^3$, значит $a = x$.

Последний член $8$ соответствует $b^3$, значит $b = 2$, так как $2^3 = 8$.

Проверим средние члены при $a = x$ и $b = 2$:

• Второй член: $3a^2b = 3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$. Совпадает.

Все члены совпадают, значит выражение является кубом суммы $x$ и $2$.

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = (x + 2)^3$.

Ответ: $(x + 2)^3$.

в) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

Вновь применяем формулу $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Первый член $x^3$ соответствует $a^3$, что дает нам $a = x$.

Последний член $27$ соответствует $b^3$, что дает нам $b = 3$, так как $3^3 = 27$.

Проверим средние члены при $a = x$ и $b = 3$:

• Второй член: $3a^2b = 3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2$. Совпадает.
• Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 3^2 = 3 \cdot x \cdot 9 = 27x$. Совпадает.

Все члены совпадают, поэтому выражение является кубом суммы $x$ и $3$.

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3$.

Ответ: $(x + 3)^3$.

207. Вычислите:

a) $6^3 + 3 \cdot 6^2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 \cdot 4^2 + 4^3 = (6 + 4)^3 = \dots$

б) $7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 \cdot 3^2 + 3^3 = \dots$

в) $6^3 + 3 \cdot 6^2 \cdot (-4) + 3 \cdot 6 \cdot (-4)^2 + (-4)^3 = \dots$

г) $7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot (-3) + 3 \cdot 7 \cdot (-3)^2 + (-3)^3 = \dots$

а) $6^3 + 3 \cdot 6^2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 \cdot 4^2 + 4^3 = (6 + 4)^3 = \dots$

Данное выражение представляет собой разложение формулы куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. В данном случае $a=6$ и $b=4$. В задании уже показано, что выражение сворачивается в $(6+4)^3$.

Вычислим значение:

$(6 + 4)^3 = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000

б) $7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 \cdot 3^2 + 3^3 = \dots$

Это выражение также является разложением по формуле куба суммы $(a+b)^3$, где $a=7$ и $b=3$.

Свернем выражение, используя формулу:

$7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 \cdot 3^2 + 3^3 = (7+3)^3$.

Теперь вычислим результат:

$(7+3)^3 = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000

в) $6^3 + 3 \cdot 6^2 \cdot (-4) + 3 \cdot 6 \cdot 4^2 + (-4)^3 = \dots$

Здесь мы также применяем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. В этом примере $a=6$ и $b=-4$.

Проверим соответствие членов выражения формуле: $3ab^2 = 3 \cdot 6 \cdot (-4)^2 = 3 \cdot 6 \cdot 16 = 3 \cdot 6 \cdot 4^2$. Все члены совпадают. Выражение можно свернуть по формуле:

$6^3 + 3 \cdot 6^2 \cdot (-4) + 3 \cdot 6 \cdot 4^2 + (-4)^3 = (6 + (-4))^3 = (6 - 4)^3$.

Вычислим значение:

$(6 - 4)^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

г) $7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot (-3) + 3 \cdot 7 \cdot 3^2 + (-3)^3 = \dots$

Это выражение соответствует формуле куба суммы $(a+b)^3$ при $a=7$ и $b=-3$.

Проверим член $3ab^2$: $3 \cdot 7 \cdot (-3)^2 = 3 \cdot 7 \cdot 9 = 3 \cdot 7 \cdot 3^2$. Все члены выражения соответствуют формуле.

Свернем выражение:

$7^3 + 3 \cdot 7^2 \cdot (-3) + 3 \cdot 7 \cdot 3^2 + (-3)^3 = (7 + (-3))^3 = (7 - 3)^3$.

Вычислим результат:

$(7 - 3)^3 = 4^3 = 64$.

Ответ: 64

354. ОГЭ. Игорь и Паша могут покрасить забор за 20 ч. Паша и Володя могут покрасить тот же забор за 21 ч, а Володя и Игорь — за 28 ч. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Для решения задачи обозначим производительность каждого мальчика как часть работы (покраски забора), выполняемую за 1 час. Пусть $И$ — производительность Игоря, $П$ — производительность Паши, а $В$ — производительность Володи.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Игорь и Паша могут покрасить забор за 20 часов, значит их совместная производительность составляет $\frac{1}{20}$ забора в час:

$И + П = \frac{1}{20}$

2. Паша и Володя могут покрасить тот же забор за 21 час, их совместная производительность:

$П + В = \frac{1}{21}$

3. Володя и Игорь могут покрасить забор за 28 часов, их совместная производительность:

$В + И = \frac{1}{28}$

Чтобы найти общую производительность троих мальчиков ($И + П + В$), сложим все три уравнения:

$(И + П) + (П + В) + (В + И) = \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28}$

$2И + 2П + 2В = \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28}$

$2(И + П + В) = \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28}$

Теперь найдем сумму дробей в правой части. Для этого приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 20, 21 и 28.

Разложим числа на простые множители:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

НОК(20, 21, 28) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 105 = 420$.

Приведем дроби к знаменателю 420:

$\frac{1}{20} = \frac{21}{420}$

$\frac{1}{21} = \frac{20}{420}$

$\frac{1}{28} = \frac{15}{420}$

Сложим дроби:

$\frac{21}{420} + \frac{20}{420} + \frac{15}{420} = \frac{21 + 20 + 15}{420} = \frac{56}{420}$

Теперь вернемся к уравнению:

$2(И + П + В) = \frac{56}{420}$

Найдем совместную производительность троих мальчиков, разделив обе части на 2:

$И + П + В = \frac{56}{420 \cdot 2} = \frac{56}{840}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 56: $840 \div 56 = 15$.

$И + П + В = \frac{1}{15}$

Таким образом, совместная производительность Игоря, Паши и Володи составляет $\frac{1}{15}$ забора в час. Это значит, что для покраски всего забора (1 целая работа) им потребуется время $T$, которое можно найти по формуле $T = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}}$:

$T = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов.

В задаче требуется указать время в минутах. Переведем часы в минуты:

$15 \text{ часов} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 900$ минут.

Ответ: 900.

355. ОГЭ. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 мин, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Ответ задачи не зависит от того, в какой момент остановился на 0,6 ч (36 мин) первый велосипедист (см. Замечание). Будем считать, что он выехал позже на 0,6 ч.

1) $10 \cdot 0,6 = 6$ (км) — проехал второй велосипедист до выезда первого;

2) $82 – 6 = ........$ (км) — осталось проехать до встречи;

3) $28 + 10 = ....$ (км/ч) — скорость сближения велосипедистов;

4) ........................ — время движения велосипедистов после выезда первого велосипедиста;

5) ........................ — время движения второго велосипедиста;

6) ........................ — расстояние от второго города до места встречи.

Замечание. В задаче 355 независимость ответа от момента остановки первого велосипедиста можно обосновать с помощью графика движения (рис. 15).

Пусть на горизонтальной оси откладывают время движения первого велосипедиста, а на вертикальной — расстояние от первого города. Если первый велосипедист будет ехать без остановки, то графиком его движения будет отрезок OA.

Если он сделает остановку в момент времени $t_1$ на 0,6 ч, то графиком его движения будет ломаная OMNB. Если же он сделает остановку в момент времени $t_2$ на 0,6 ч, то графиком его движения будет ломаная OLKB. Так как время остановки в пути одно и то же, то горизонтальные участки графиков движения MN и LK равны и параллельны. Тогда MNKL — параллелограмм (по признаку параллелограмма). Это означает, что конец K отрезка LK принадлежит отрезку NB, т. е. после второй остановки графики движения велосипедиста совпадут. Поэтому не важно, в какой момент первый велосипедист сделал остановку. Важно только, что начать движение после остановки он должен до встречи со вторым велосипедистом.

Рис. 15

Для решения задачи воспользуемся предложенным планом, заполнив пропуски. В условии задачи дано обоснование (Замечание и рис. 15), что ответ не зависит от момента остановки первого велосипедиста. Поэтому для удобства расчетов можно считать, что остановка длительностью 36 минут ($0.6$ часа) произошла в самом начале. Это равносильно тому, что второй велосипедист выехал на 0.6 часа раньше первого и проехал часть пути один.

1) $10 \cdot 0.6 = 6$ (км) — проехал второй велосипедист до выезда первого;

2) $82 - 6 = 76$ (км) — осталось проехать до встречи;

3) $28 + 10 = 38$ (км/ч) — скорость сближения велосипедистов;

4) $76 : 38 = 2$ (ч) — время движения велосипедистов после выезда первого велосипедиста;

5) $0.6 + 2 = 2.6$ (ч) — общее время движения второго велосипедиста до встречи;

6) $10 \cdot 2.6 = 26$ (км) — расстояние от второго города до места встречи.

Ответ: 26 км.