Номер 354, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Подготовка к ОГЭ. Арифметические способы решения задач. Дополнения. Часть 2 - номер 354, страница 73.

Условие.

354. ОГЭ. Игорь и Паша могут покрасить забор за 20 ч. Паша и Володя могут покрасить тот же забор за 21 ч, а Володя и Игорь — за 28 ч. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи обозначим производительность каждого мальчика как часть работы (покраски забора), выполняемую за 1 час. Пусть $И$ — производительность Игоря, $П$ — производительность Паши, а $В$ — производительность Володи.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Игорь и Паша могут покрасить забор за 20 часов, значит их совместная производительность составляет $\frac{1}{20}$ забора в час:

$И + П = \frac{1}{20}$

2. Паша и Володя могут покрасить тот же забор за 21 час, их совместная производительность:

$П + В = \frac{1}{21}$

3. Володя и Игорь могут покрасить забор за 28 часов, их совместная производительность:

$В + И = \frac{1}{28}$

Чтобы найти общую производительность троих мальчиков ($И + П + В$), сложим все три уравнения:

$(И + П) + (П + В) + (В + И) = \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28}$

$2И + 2П + 2В = \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28}$

$2(И + П + В) = \frac{1}{20} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28}$

Теперь найдем сумму дробей в правой части. Для этого приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 20, 21 и 28.

Разложим числа на простые множители:

$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$

$21 = 3 \cdot 7$

$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

НОК(20, 21, 28) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 105 = 420$.

Приведем дроби к знаменателю 420:

$\frac{1}{20} = \frac{21}{420}$

$\frac{1}{21} = \frac{20}{420}$

$\frac{1}{28} = \frac{15}{420}$

Сложим дроби:

$\frac{21}{420} + \frac{20}{420} + \frac{15}{420} = \frac{21 + 20 + 15}{420} = \frac{56}{420}$

Теперь вернемся к уравнению:

$2(И + П + В) = \frac{56}{420}$

Найдем совместную производительность троих мальчиков, разделив обе части на 2:

$И + П + В = \frac{56}{420 \cdot 2} = \frac{56}{840}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 56: $840 \div 56 = 15$.

$И + П + В = \frac{1}{15}$

Таким образом, совместная производительность Игоря, Паши и Володи составляет $\frac{1}{15}$ забора в час. Это значит, что для покраски всего забора (1 целая работа) им потребуется время $T$, которое можно найти по формуле $T = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}}$:

$T = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ часов.

В задаче требуется указать время в минутах. Переведем часы в минуты:

$15 \text{ часов} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 900$ минут.

Ответ: 900.