Номер 351, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Подготовка к ОГЭ. Арифметические способы решения задач. Дополнения. Часть 2 - номер 351, страница 71.

Условие.

351. ОГЭ. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 3 мин назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

1) На сколько второй бегун удалился от первого за 1 ч?

$8 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 8 \text{ км.}$

2) На сколько второй бегун удалился за 3 мин от места старта?

3) Какова скорость второго бегуна?

... : 3 мин = ... : $\frac{3 \text{ ч}}{60}$ = ...

4) Какова скорость первого бегуна?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем переменные: $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго бегунов соответственно (в км/ч), а $L$ — длина круговой трассы (в км).

Проанализируем условия задачи:

1. Скорость первого бегуна на 8 км/ч меньше скорости второго: $v_1 = v_2 - 8$.
2. Спустя 1 час ($t=1$ ч) первый бегун пробежал расстояние $d_1 = v_1 \cdot 1 = v_1$ км. Ему осталось 7 км до конца круга, следовательно, длина круга: $L = v_1 + 7$.
3. Второй бегун пробежал полный круг (дистанцию $L$) за время на 3 минуты меньшее, чем 1 час. То есть, время второго бегуна на первом круге $t_2 = 60 \text{ мин} - 3 \text{ мин} = 57 \text{ минут}$. Переведя в часы, получаем $t_2 = \frac{57}{60}$ ч. Его скорость равна $v_2 = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{57/60} = \frac{60L}{57}$.

Используя эти соотношения, ответим на поставленные вопросы.

1) На сколько второй бегун удалился от первого за 1 ч?

Разница в скоростях бегунов по условию составляет 8 км/ч ($v_2 - v_1 = 8$ км/ч). Это означает, что за каждый час расстояние между ними увеличивается на 8 км. Следовательно, за 1 час второй бегун удалился от первого на:

$\Delta d = (v_2 - v_1) \cdot 1 \text{ ч} = 8 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 8 \text{ км}$.

Ответ: 8 км.

2) На сколько второй бегун удалился за 3 мин от места старта?

Этот вопрос относится к моменту времени "спустя час". К этому моменту второй бегун уже завершил первый круг (это произошло 3 минуты назад) и 3 минуты бежал по второму кругу. Таким образом, его расстояние от места старта равно дистанции, которую он пробежал за эти 3 минуты. Для расчета нам понадобится его скорость $v_2$, которую мы найдем в следующем пункте. Как будет показано в п. 3, скорость второго бегуна $v_2 = 20$ км/ч.

Переведем 3 минуты в часы: $3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20}$ ч.

Расстояние от места старта:

$d = v_2 \cdot \frac{3}{60} = 20 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{20} \text{ ч} = 1 \text{ км}$.

Ответ: 1 км.

3) Какова скорость второго бегуна?

Для нахождения скорости $v_2$ решим систему уравнений, составленную в начале:

$v_1 = v_2 - 8$

$L = v_1 + 7$

$v_2 = \frac{60L}{57}$

Подставим второе уравнение в третье: $v_2 = \frac{60(v_1 + 7)}{57}$.

Теперь подставим первое уравнение в полученное выражение:

$v_2 = \frac{60((v_2 - 8) + 7)}{57}$

$v_2 = \frac{60(v_2 - 1)}{57}$

Решим уравнение относительно $v_2$:

$57 v_2 = 60(v_2 - 1)$

$57 v_2 = 60 v_2 - 60$

$60 v_2 - 57 v_2 = 60$

$3 v_2 = 60$

$v_2 = \frac{60}{3} = 20$ км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

4) Какова скорость первого бегуна?

Согласно условию, скорость первого бегуна на 8 км/ч меньше скорости второго, которую мы нашли в предыдущем пункте:

$v_1 = v_2 - 8 = 20 \text{ км/ч} - 8 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$.

Ответ: 12 км/ч.