Номер 353, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Подготовка к ОГЭ. Арифметические способы решения задач. Дополнения. Часть 2 - номер 353, страница 72.

Условие.

353. ЕГЭ. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена могут вымыть это же окно за 15 мин, а Маша и Лена — за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроём?

Пусть у нас было две Маши, две Насти и две Лены, причём девочки с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью.

Тогда за 60 мин Маша и Настя вымоют . . . окна,

Настя и Лена вымоют . . . . окна, а Маша и Лена вымоют . . . . окон. За 60 мин 6 девочек при совместной работе вымоют . . . . окон.

Тогда Маша, Настя и Лена за 60 мин вымоют . . . . окон,

а одно окно они вымоют за . . . . мин.

Ответ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи определим общую производительность трех девочек, то есть какую часть окна они моют вместе за одну минуту. Всю работу по мытью одного окна примем за 1.

Пусть $P_М$, $P_Н$ и $P_Л$ — производительность Маши, Насти и Лены соответственно (в долях окна за минуту).

Исходя из условия, составим уравнения для производительности каждой пары:

• Маша и Настя моют окно за 20 минут, значит, их совместная производительность: $P_М + P_Н = \frac{1}{20}$
• Настя и Лена моют окно за 15 минут, их совместная производительность: $P_Н + P_Л = \frac{1}{15}$
• Маша и Лена моют окно за 12 минут, их совместная производительность: $P_М + P_Л = \frac{1}{12}$

Чтобы найти общую производительность трех девочек, работающих вместе ($P_М + P_Н + P_Л$), сложим все три уравнения. В левой части производительность каждой девочки будет посчитана дважды:

$(P_М + P_Н) + (P_Н + P_Л) + (P_М + P_Л) = 2P_М + 2P_Н + 2P_Л = 2(P_М + P_Н + P_Л)$

Теперь сложим правые части уравнений (значения производительности):

$2(P_М + P_Н + P_Л) = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60:

$2(P_М + P_Н + P_Л) = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{5}{60} = \frac{3+4+5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Мы получили удвоенную производительность трех девочек. Чтобы найти их реальную совместную производительность, разделим результат на 2:

$P_М + P_Н + P_Л = \frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{10}$

Это означает, что, работая втроем, девочки за 1 минуту вымоют $\frac{1}{10}$ часть окна. Чтобы найти время $t$, необходимое для мытья всего окна, нужно всю работу (1) разделить на их совместную производительность:

$t = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10$ минут.

Заполнение пропусков в тексте из задания:

Рассуждения в задании используют тот же принцип, но на примере конкретного временного интервала в 60 минут (наименьшее общее кратное для 20, 15 и 12).

Пусть у нас было две Маши, две Насти и две Лены, причём девочки с одинаковыми именами работали с одинаковой производительностью. Тогда за 60 мин Маша и Настя вымоют 3 окна ($60 \div 20=3$), Настя и Лена вымоют 4 окна ($60 \div 15=4$), а Маша и Лена вымоют 5 окон ($60 \div 12=5$). За 60 мин 6 девочек при совместной работе вымоют 12 окон ($3+4+5=12$). Тогда Маша, Настя и Лена за 60 мин вымоют 6 окон ($12 \div 2=6$), а одно окно они вымоют за 10 мин ($60 \div 6=10$).

Ответ: 10 минут.