Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

179. Укажите, какое наименьшее значение принимает данный многочлен и при каком значении a:

$a^2 + 2a + 7 = (a + 1)^2 + 6$ — наименьшее значение 6 при $a = -1$

а) $a^2 - 4a + 1;$

б) $a^2 + 6a + 1;$

в) $4a^2 - 4a + 3;$

г) $a^2 + a + 1;$

д) $9a^2 - 12a + 7.$

Чтобы найти наименьшее значение каждого многочлена, мы воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет представить квадратичный трехчлен в виде $A(a-h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы. Поскольку коэффициент при $a^2$ во всех случаях положителен, ветви параболы направлены вверх, и ее вершина является точкой минимума. Наименьшее значение многочлена будет равно $k$, и оно достигается при $a = h$.

а) $a^2 - 4a + 1$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат: $a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 1 = (a - 2)^2 - 4 + 1 = (a - 2)^2 - 3$.

Квадрат любого выражения $(a - 2)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(a - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение достигается, когда $(a - 2)^2 = 0$, что происходит при $a = 2$. В этой точке значение всего многочлена будет минимальным и равным $0 - 3 = -3$.

Ответ: наименьшее значение -3 при $a = 2$.

б) $a^2 + 6a + 1$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат: $a^2 + 6a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 1 = (a + 3)^2 - 9 + 1 = (a + 3)^2 - 8$.

Выражение $(a + 3)^2$ принимает наименьшее значение 0 при $a = -3$. Следовательно, наименьшее значение всего многочлена равно $0 - 8 = -8$.

Ответ: наименьшее значение -8 при $a = -3$.

в) $4a^2 - 4a + 3$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат. Заметим, что $4a^2 = (2a)^2$, а $-4a = -2 \cdot (2a) \cdot 1$. $4a^2 - 4a + 3 = (4a^2 - 4a + 1) + 2 = (2a - 1)^2 + 2$.

Выражение $(2a - 1)^2$ принимает наименьшее значение 0, когда $2a - 1 = 0$, то есть при $a = \frac{1}{2}$. Наименьшее значение всего многочлена равно $0 + 2 = 2$.

Ответ: наименьшее значение 2 при $a = \frac{1}{2}$.

г) $a^2 + a + 1$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат: $a^2 + a + 1 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (a + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Выражение $(a + \frac{1}{2})^2$ принимает наименьшее значение 0 при $a = -\frac{1}{2}$. Наименьшее значение всего многочлена равно $0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{3}{4}$ при $a = -\frac{1}{2}$.

д) $9a^2 - 12a + 7$

Преобразуем многочлен, выделив полный квадрат. Заметим, что $9a^2 = (3a)^2$, а $-12a = -2 \cdot (3a) \cdot 2$. $9a^2 - 12a + 7 = (9a^2 - 12a + 4) + 3 = (3a - 2)^2 + 3$.

Выражение $(3a - 2)^2$ принимает наименьшее значение 0, когда $3a - 2 = 0$, то есть при $a = \frac{2}{3}$. Наименьшее значение всего многочлена равно $0 + 3 = 3$.

Ответ: наименьшее значение 3 при $a = \frac{2}{3}$.

180. Докажите, что при каждом значении x и каждом значении y многочлен принимает положительные значения:

a) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14$;

б) $x^2 + y^2 + 2x - 14y + 50,5$.

Доказательство.

a) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 + 1 =$.

а)

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14$ принимает положительные значения при любых $x$ и $y$, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 14 = (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 14$.

Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 - 4x$ необходимо добавить $4$, а из выражения $y^2 + 6y$ — $9$. Представим свободный член $14$ в виде суммы $4 + 9 + 1$:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) + 1$.

Теперь свернем полные квадраты по формулам квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) + 1 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 1$.

Рассмотрим полученное выражение. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть:
$(x - 2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
$(y + 3)^2 \ge 0$ при любом значении $y$.

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 \ge 0$.

Прибавляя к неотрицательному выражению положительное число 1, мы получаем выражение, которое всегда будет строго больше нуля:
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $1 > 0$, то и исходный многочлен всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен преобразован к виду $(x-2)^2 + (y+3)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$ и $(y+3)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$, их сумма не меньше нуля. Прибавив 1, получаем выражение, которое всегда больше или равно 1, а значит, всегда положительно.

б)

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + y^2 + 2x - 14y + 50,5$ принимает положительные значения при любых $x$ и $y$, также применим метод выделения полных квадратов.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:
$x^2 + y^2 + 2x - 14y + 50,5 = (x^2 + 2x) + (y^2 - 14y) + 50,5$.

Выделим полные квадраты. Для этого преобразуем выражение:
Для $x$: $x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$.
Для $y$: $y^2 - 14y = (y^2 - 14y + 49) - 49 = (y-7)^2 - 49$.

Подставим полученные выражения в исходный многочлен:
$((x+1)^2 - 1) + ((y-7)^2 - 49) + 50,5 = (x+1)^2 + (y-7)^2 - 1 - 49 + 50,5$.

Упростим числовые слагаемые:
$(x+1)^2 + (y-7)^2 - 50 + 50,5 = (x+1)^2 + (y-7)^2 + 0,5$.

Выражения $(x+1)^2$ и $(y-7)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны:
$(x+1)^2 \ge 0$ при любом $x$.
$(y-7)^2 \ge 0$ при любом $y$.

Их сумма также неотрицательна:
$(x+1)^2 + (y-7)^2 \ge 0$.

Прибавляя к этой сумме положительное число 0,5, мы получаем выражение, которое всегда строго положительно:
$(x+1)^2 + (y-7)^2 + 0,5 \ge 0 + 0,5 = 0,5$.
Так как $0,5 > 0$, исходный многочлен всегда положителен, что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен преобразован к виду $(x+1)^2 + (y-7)^2 + 0,5$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ и $(y-7)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$, их сумма не меньше нуля. Прибавив 0,5, получаем выражение, которое всегда больше или равно 0,5, а значит, всегда положительно.

338. Решите систему уравнений методом Гаусса:

a) $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 3x - 2y = -16 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ 3x + y = 2 \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 2x - 5y = -13 \\ 8x + 3y = -1 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + y - z = 4 \\ -x + y + z = -2 \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - 3y + 4z = 8 \\ -x + y - 3z = -8 \end{cases} $

е) $ \begin{cases} x - 2y + z = 4 \\ 2x + 3y - 4z = -5 \\ 3x - 4y - 5z = 2 \end{cases} $

ж) $ \begin{cases} x - 2y + 3z = 9 \\ 3x + 2y - z = -1 \\ x + y + z = 2 \end{cases} $

а) $ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ 3x - 2y = -16; \end{cases} $
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками (метод Гаусса).
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 \\ 3 & -2 & | & -16 \end{pmatrix} $
Умножим вторую строку на 2 и вычтем из нее первую строку, умноженную на 3 ($2R_2 - 3R_1 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 \\ 2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 & 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 & | & 2 \cdot (-16) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 \\ 0 & -7 & | & -35 \end{pmatrix} $
Получили систему, эквивалентную исходной:
$ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ -7y = -35; \end{cases} $
Из второго уравнения находим $y$:
$-7y = -35 \implies y = 5$
Подставляем значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$2x + 5 = 1 \implies 2x = -4 \implies x = -2$
Ответ: $x = -2, y = 5$.

б) $ \begin{cases} x - 2y = 4, \\ 3x + y = 2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3 ($R_2 - 3R_1 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & | & 4 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot (-2) & | & 2 - 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 7 & | & -10 \end{pmatrix} $
Получили систему:
$ \begin{cases} x - 2y = 4, \\ 7y = -10; \end{cases} $
Из второго уравнения: $y = -10/7$.
Подставляем $y$ в первое уравнение:
$x - 2(-10/7) = 4 \implies x + 20/7 = 4 \implies x = 4 - 20/7 = 28/7 - 20/7 = 8/7$.
Ответ: $x = 8/7, y = -10/7$.

в) $ \begin{cases} 2x - 5y = -13, \\ 8x + 3y = -1; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 2 & -5 & | & -13 \\ 8 & 3 & | & -1 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 4 ($R_2 - 4R_1 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 2 & -5 & | & -13 \\ 8 - 4 \cdot 2 & 3 - 4 \cdot (-5) & | & -1 - 4 \cdot (-13) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 & | & -13 \\ 0 & 23 & | & 51 \end{pmatrix} $
Получили систему:
$ \begin{cases} 2x - 5y = -13, \\ 23y = 51; \end{cases} $
Из второго уравнения: $y = 51/23$.
Подставляем $y$ в первое уравнение:
$2x - 5(51/23) = -13 \implies 2x - 255/23 = -13 \implies 2x = -13 + 255/23 = (-299 + 255)/23 = -44/23 \implies x = -22/23$.
Ответ: $x = -22/23, y = 51/23$.

г) $ \begin{cases} x - y + z = 0, \\ x + y - z = 4, \\ -x + y + z = -2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 4 \\ -1 & 1 & 1 & | & -2 \end{pmatrix} $
Вычтем первую строку из второй ($R_2 - R_1 \rightarrow R_2$) и прибавим первую строку к третьей ($R_3 + R_1 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 2 & -2 & | & 4 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2 \end{pmatrix} $
Матрица уже приведена к ступенчатому виду. Получаем систему:
$ \begin{cases} x - y + z = 0, \\ 2y - 2z = 4, \\ 2z = -2; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $2z = -2 \implies z = -1$.
Подставляем $z$ во второе уравнение: $2y - 2(-1) = 4 \implies 2y + 2 = 4 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое уравнение: $x - 1 + (-1) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Ответ: $x = 2, y = 1, z = -1$.

д) $ \begin{cases} x + y + z = 6, \\ 2x - 3y + 4z = 8, \\ -x + y - 3z = -8; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -3 & 4 & | & 8 \\ -1 & 1 & -3 & | & -8 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2 ($R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2$), и прибавим к третьей строке первую ($R_3 + R_1 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -5 & 2 & | & -4 \\ 0 & 2 & -2 & | & -2 \end{pmatrix} $
Разделим третью строку на 2 ($R_3 / 2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -5 & 2 & | & -4 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \end{pmatrix} $
Поменяем местами вторую и третью строки:
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & -5 & 2 & | & -4 \end{pmatrix} $
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 5 ($R_3 + 5R_2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -3 & | & -9 \end{pmatrix} $
Получаем систему:
$ \begin{cases} x + y + z = 6, \\ y - z = -1, \\ -3z = -9; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $z = 3$.
Подставляем $z$ во второе: $y - 3 = -1 \implies y = 2$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое: $x + 2 + 3 = 6 \implies x + 5 = 6 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1, y = 2, z = 3$.

е) $ \begin{cases} x - 2y + z = 4, \\ 2x + 3y - 4z = -5, \\ 3x - 4y - 5z = 2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 2 & 3 & -4 & | & -5 \\ 3 & -4 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} $
$R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2$ и $R_3 - 3R_1 \rightarrow R_3$:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 7 & -6 & | & -13 \\ 0 & 2 & -8 & | & -10 \end{pmatrix} $
Разделим третью строку на 2 ($R_3/2 \rightarrow R_3$) и поменяем ее местами со второй строкой:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -4 & | & -5 \\ 0 & 7 & -6 & | & -13 \end{pmatrix} $
Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 7 ($R_3 - 7R_2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -4 & | & -5 \\ 0 & 0 & 22 & | & 22 \end{pmatrix} $
Получаем систему:
$ \begin{cases} x - 2y + z = 4, \\ y - 4z = -5, \\ 22z = 22; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $z = 1$.
Подставляем $z$ во второе: $y - 4(1) = -5 \implies y = -1$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое: $x - 2(-1) + 1 = 4 \implies x + 2 + 1 = 4 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1, y = -1, z = 1$.

ж) $ \begin{cases} x - 2y + 3z = 9, \\ 3x + 2y - z = -1, \\ x + y + z = 2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 3 & 2 & -1 & | & -1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} $
$R_2 - 3R_1 \rightarrow R_2$ и $R_3 - R_1 \rightarrow R_3$:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 8 & -10 & | & -28 \\ 0 & 3 & -2 & | & -7 \end{pmatrix} $
Разделим вторую строку на 2 ($R_2/2 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 4 & -5 & | & -14 \\ 0 & 3 & -2 & | & -7 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки третью ($R_2 - R_3 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & -3 & | & -7 \\ 0 & 3 & -2 & | & -7 \end{pmatrix} $
Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 3 ($R_3 - 3R_2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & -3 & | & -7 \\ 0 & 0 & 7 & | & 14 \end{pmatrix} $
Получаем систему:
$ \begin{cases} x - 2y + 3z = 9, \\ y - 3z = -7, \\ 7z = 14; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $z = 2$.
Подставляем $z$ во второе: $y - 3(2) = -7 \implies y - 6 = -7 \implies y = -1$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое: $x - 2(-1) + 3(2) = 9 \implies x + 2 + 6 = 9 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1, y = -1, z = 2$.