Страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

171. Докажите тождество

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc.$

Для положительных чисел a, b и c проиллюстрируйте доказанное тождество с помощью рисунка 10.

Доказательство.

.......................

.......................

.......................

.......................

Рис. 10

Чтобы доказать тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$, преобразуем его левую часть. Квадрат суммы можно представить как произведение этой суммы на саму себя:

$(a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c)$

Теперь раскроем скобки, последовательно умножая каждый член из первой скобки на каждый член из второй скобки:

$a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c + b \cdot a + b \cdot b + b \cdot c + c \cdot a + c \cdot b + c \cdot c$

$= a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 + c^2 + (ab + ab) + (ac + ac) + (bc + bc) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

В результате преобразования левой части тождества мы получили его правую часть. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ доказано путем раскрытия скобок в левой части выражения и приведения подобных слагаемых.

Рассмотрим рисунок 10. На нем изображен большой квадрат. Его сторона состоит из трех отрезков с длинами $a, b$ и $c$. Таким образом, длина стороны всего квадрата равна $(a + b + c)$.

Площадь этого большого квадрата равна квадрату его стороны: $S_{квадрата} = (a + b + c)^2$. Это выражение совпадает с левой частью доказываемого тождества.

С другой стороны, этот квадрат разделен на 9 меньших прямоугольников. Площадь большого квадрата равна сумме площадей этих девяти частей. Найдем площади каждой части:

• Три квадрата, расположенные по диагонали, имеют стороны $a, b$ и $c$. Их площади равны соответственно $a^2, b^2$ и $c^2$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Их общая площадь равна $ab + ab = 2ab$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $c$. Их общая площадь равна $ac + ac = 2ac$.
• Два прямоугольника со сторонами $b$ и $c$. Их общая площадь равна $bc + bc = 2bc$.

Теперь сложим площади всех девяти частей, чтобы найти общую площадь:

$S_{общая} = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Это выражение совпадает с правой частью доказываемого тождества.

Поскольку площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его частей, мы получаем наглядное геометрическое подтверждение тождества для положительных чисел $a, b$ и $c$.

Ответ: Площадь большого квадрата со стороной $(a+b+c)$ равна сумме площадей девяти составляющих его прямоугольников, которая выражается как $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$, что и иллюстрирует данное тождество.

172. Докажите двумя способами формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Доказательство.

I способ. $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = \dots$

..................

II способ. $(a - b)^2 = (a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = \dots$

I способ.

Данный способ основан на определении квадрата выражения и правиле умножения многочленов. Квадрат выражения $(a - b)$ — это произведение этого выражения на само себя.
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$
Теперь, следуя правилу умножения многочленов (раскрытия скобок), умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго:
$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2$
Так как умножение обладает свойством коммутативности ($ab = ba$), мы можем привести подобные слагаемые:
$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Таким образом, мы доказали тождество.
Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

II способ.

Этот способ заключается в том, чтобы представить разность $(a - b)$ в виде суммы $a + (-b)$ и применить уже известную формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(a - b)^2 = (a + (-b))^2$
Применим формулу квадрата суммы, подставив в нее $x=a$ и $y=-b$:
$(a + (-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2$
Теперь упростим полученное выражение:
$a^2 - 2ab + b^2$
Мы получили тот же результат, что и требовалось доказать, так как $2a(-b) = -2ab$ и $(-b)^2 = (-b) \cdot (-b) = b^2$.
Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

173. Примените формулу квадрата разности:

а) $(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = $...

б) $(a - 2)^2 = a^2 - \ldots + 2^2 = $...

в) $(a - 3)^2 = a^2 - \ldots$

г) $(a - 4)^2 = \ldots$

д) $(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = $...

е) $(3a - 1)^2 = \ldots$

ж) $(2a - 0.5)^2 = \ldots$

Для решения данных примеров используется формула квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

а) $(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$. Ответ: $a^2 - 2a + 1$.

б) $(a - 2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4$. Ответ: $a^2 - 4a + 4$.

в) $(a - 3)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$. Ответ: $a^2 - 6a + 9$.

г) $(a - 4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$. Ответ: $a^2 - 8a + 16$.

д) $(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$. Ответ: $4a^2 - 4a + 1$.

е) $(3a - 1)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 - 6a + 1$. Ответ: $9a^2 - 6a + 1$.

ж) $(2a - 0,5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 0,5 + (0,5)^2 = 4a^2 - 2a + 0,25$. Ответ: $4a^2 - 2a + 0,25$.

333. Решите в натуральных числах уравнение $3x + 5y = 42$.

Дано уравнение $3x + 5y = 42$, которое необходимо решить в натуральных числах. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами ($x \ge 1$, $y \ge 1$).

Для решения задачи выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$ через $y$:

$3x = 42 - 5y$

$x = \frac{42 - 5y}{3}$

Поскольку $x$ должен быть натуральным числом, на переменную $y$ накладываются два основных ограничения:

1. Значение $x$ должно быть положительным, то есть $x > 0$. Отсюда следует, что и числитель дроби должен быть положительным: $42 - 5y > 0$.

Решим это неравенство относительно $y$:

$42 > 5y$

$y < \frac{42}{5}$

$y < 8.4$

2. Значение $x$ должно быть целым числом. Это означает, что выражение $42 - 5y$ должно делиться на $3$ без остатка.

Так как $y$ по условию является натуральным числом и, как мы выяснили, $y < 8.4$, то возможные значения для $y$ принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Теперь проверим, какие из этих значений удовлетворяют второму условию (делимости на $3$). Выражение $42 - 5y$ должно быть кратно $3$. Поскольку число $42$ само по себе делится на $3$ ($42 = 3 \cdot 14$), для того чтобы вся разность делилась на $3$, необходимо, чтобы и вычитаемое $5y$ также делилось на $3$.

Так как множитель $5$ не делится на $3$, то на $3$ должен делиться множитель $y$.

Из нашего множества возможных значений для $y$ выберем те, которые кратны $3$. Это $y = 3$ и $y = 6$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих случаев.

Случай 1: $y = 3$.

Подставим это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{42 - 5 \cdot 3}{3} = \frac{42 - 15}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Полученное значение $x=9$ является натуральным числом. Следовательно, пара $(9; 3)$ является решением уравнения.

Случай 2: $y = 6$.

Подставим это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{42 - 5 \cdot 6}{3} = \frac{42 - 30}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Полученное значение $x=4$ также является натуральным числом. Следовательно, пара $(4; 6)$ тоже является решением.

Следующее значение $y$, кратное трем, это $y=9$. Оно не удовлетворяет условию $y < 8.4$, поэтому дальнейший перебор не имеет смысла. Мы нашли все возможные решения.

Ответ: $(9; 3), (4; 6)$.

334. Решите уравнение в целых числах:

а) $3x + 2y = 18$;

б) $3x + 5y = 42$.

а) Решим уравнение $3x + 2y = 18$ в целых числах.

Это линейное диофантово уравнение. Для его решения выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить ту переменную, у которой коэффициент по модулю меньше, в данном случае это $y$.

$2y = 18 - 3x$

$y = \frac{18 - 3x}{2}$

$y = 9 - \frac{3}{2}x$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, выражение $\frac{3}{2}x$ должно быть таким, чтобы разность $9 - \frac{3}{2}x$ была целым числом. Так как 9 — целое число, то и $\frac{3}{2}x$ должно быть целым числом. Это означает, что $3x$ должно делиться на 2. Так как числа 3 и 2 взаимно простые, то $x$ должен быть кратен 2.

Введем параметр $k$, который является целым числом ($k \in \mathbb{Z}$), и запишем $x$ в виде:

$x = 2k$

Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:

$y = 9 - \frac{3}{2}(2k) = 9 - 3k$

Таким образом, мы получили общее решение уравнения в целых числах. Оно представляет собой множество пар $(x, y)$, где $x$ и $y$ выражены через целый параметр $k$.

Ответ: $x = 2k, y = 9 - 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $3x + 5y = 42$ в целых числах.

Это также линейное диофантово уравнение. Наибольший общий делитель коэффициентов при $x$ и $y$, $\text{НОД}(3, 5) = 1$. Так как 1 делит 42, уравнение имеет решения в целых числах.

Выразим переменную с меньшим по модулю коэффициентом, то есть $x$, через $y$.

$3x = 42 - 5y$

$x = \frac{42 - 5y}{3}$

$x = 14 - \frac{5}{3}y$

Для того чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы дробное слагаемое $\frac{5}{3}y$ также было целым. Это значит, что $5y$ должно делиться на 3. Поскольку числа 5 и 3 взаимно простые, $y$ должен быть кратен 3.

Введем целый параметр $k$ ($k \in \mathbb{Z}$) и представим $y$ в виде:

$y = 3k$

Подставим это выражение для $y$ в формулу для $x$:

$x = 14 - \frac{5}{3}(3k) = 14 - 5k$

Таким образом, общее решение данного уравнения в целых числах найдено.

Ответ: $x = 14 - 5k, y = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.