Страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

152. Вынесите общий множитель за скобки:

a) $5(x - 4) - 5y = \ldots$

б) $x(x - 2) - x(x + 3) = \ldots$

в) $x(x + 1) - 4(x + 1) = \ldots$

г) $(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x - 1) = \ldots$

а) В выражении $5(x - 4) - 5y$ два слагаемых: $5(x - 4)$ и $-5y$. Общим множителем для них является число 5. Вынесем его за скобки. Для этого каждое слагаемое разделим на общий множитель: от $5(x - 4)$ останется $(x - 4)$, а от $-5y$ останется $-y$. Запишем полученные выражения в скобках.

$5(x - 4) - 5y = 5((x - 4) - y) = 5(x - 4 - y)$

Ответ: $5(x - 4 - y)$

б) В выражении $x(x - 2) - x(x + 3)$ общим множителем является $x$. Вынесем его за скобки. В скобках останется разность выражений $(x - 2)$ и $(x + 3)$. Далее упростим выражение в скобках, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые.

$x(x - 2) - x(x + 3) = x((x - 2) - (x + 3)) = x(x - 2 - x - 3) = x(-5) = -5x$

Ответ: $-5x$

в) В выражении $x(x + 1) - 4(x + 1)$ общим множителем является целое выражение в скобках, то есть $(x + 1)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого $x(x + 1)$ останется множитель $x$, а от второго слагаемого $-4(x + 1)$ останется множитель $-4$.

$x(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x - 4)$

Ответ: $(x + 1)(x - 4)$

г) В выражении $(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x - 1)$ общим множителем для двух слагаемых является выражение $(x + 2)$. Вынесем его за скобки. В скобках останется сумма выражений $(x+1)$ и $(x-1)$. Упростим получившееся выражение.

$(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x - 1) = (x + 2)((x + 1) + (x - 1)) = (x + 2)(x + 1 + x - 1) = (x + 2)(2x) = 2x(x + 2)$

Ответ: $2x(x + 2)$

153. Для положительных чисел a, b, c и d равенство$(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d$можно проиллюстрировать с помощью вычисления площади прямоугольника двумя способами (рис. 9). Отметьте на рисунке фигуры, площади которых равны$b \cdot c$, $a \cdot d$ и $b \cdot d$.

Рис. 9

Данное равенство иллюстрируется на примере вычисления площади большого прямоугольника ABCD двумя способами.

Способ 1: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Ширина большого прямоугольника равна сумме длин отрезков, на которые разделена верхняя сторона, то есть $a + b$. Высота равна сумме длин отрезков, на которые разделена правая сторона, то есть $c + d$. Следовательно, площадь всего прямоугольника равна $S_{ABCD} = (a + b) \cdot (c + d)$.

Способ 2: Площадь большого прямоугольника равна сумме площадей четырех меньших прямоугольников, на которые он разделен. Рассмотрим площади этих прямоугольников по порядку, как они указаны в равенстве:

• Площадь $a \cdot c$ соответствует верхнему левому прямоугольнику (заштрихован), так как его стороны равны $a$ и $c$.
• Площадь $b \cdot c$ соответствует верхнему правому прямоугольнику, стороны которого равны $b$ и $c$.
• Площадь $a \cdot d$ соответствует нижнему левому прямоугольнику со сторонами $a$ и $d$.
• Площадь $b \cdot d$ соответствует нижнему правому прямоугольнику со сторонами $b$ и $d$.

Суммируя эти площади, получаем $S_{ABCD} = a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d$. Приравнивая результаты, полученные обоими способами, мы доказываем исходное тождество.

На основании этого анализа определим фигуры с требуемыми площадями.

b · c

Площадь, равная произведению $b \cdot c$, соответствует прямоугольнику, стороны которого имеют длины $b$ и $c$. На рисунке 9 это прямоугольник, расположенный в верхнем правом углу.
Ответ: Фигура с площадью $b \cdot c$ — это верхний правый прямоугольник.

a · d

Площадь, равная произведению $a \cdot d$, соответствует прямоугольнику со сторонами $a$ и $d$. На рисунке это прямоугольник, расположенный в нижнем левом углу.
Ответ: Фигура с площадью $a \cdot d$ — это нижний левый прямоугольник.

b · d

Площадь, равная произведению $b \cdot d$, соответствует прямоугольнику со сторонами $b$ и $d$. На рисунке это прямоугольник, расположенный в нижнем правом углу.
Ответ: Фигура с площадью $b \cdot d$ — это нижний правый прямоугольник.

154*. Придумайте иллюстрацию равенства

$(a - b) \cdot (c + d) = a \cdot c - b \cdot c + a \cdot d - b \cdot d$

для положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ $(a > b)$.

Данное равенство можно проиллюстрировать геометрически, используя площади прямоугольников.

Левая часть равенства $(a - b) \cdot (c + d)$ — это формула для вычисления площади прямоугольника со сторонами $(a - b)$ и $(c + d)$.

Чтобы наглядно показать, как эта площадь связана с правой частью равенства, представим её как разность площадей двух других прямоугольников.

1. Построим большой прямоугольник со сторонами $a$ и $(c+d)$. Его площадь $S_1 = a \cdot (c+d)$. Разбив сторону $(c+d)$ на отрезки $c$ и $d$, мы можем представить эту площадь как сумму площадей двух меньших прямоугольников: $S_1 = a \cdot c + a \cdot d$.

2. Поскольку по условию $a > b$, на стороне длиной $a$ можно выделить отрезок длиной $b$. "Вырежем" из большого прямоугольника прямоугольник со сторонами $b$ и $(c+d)$. Его площадь $S_2 = b \cdot (c+d)$. Аналогично, эту площадь можно представить как сумму $S_2 = b \cdot c + b \cdot d$.

3. После вычитания площади $S_2$ из площади $S_1$ останется прямоугольник со сторонами $(a - b)$ и $(c + d)$. Его площадь, с одной стороны, равна $(a - b) \cdot (c + d)$. С другой стороны, она равна разности площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 - S_2 = (a \cdot c + a \cdot d) - (b \cdot c + b \cdot d) = a \cdot c + a \cdot d - b \cdot c - b \cdot d$

Приравнивая два выражения для площади оставшейся фигуры, мы получаем геометрическое подтверждение исходного равенства: $(a - b) \cdot (c + d) = a \cdot c - b \cdot c + a \cdot d - b \cdot d$.

Ответ: Равенство можно проиллюстрировать геометрически. Площадь прямоугольника со сторонами $(a - b)$ и $(c + d)$ получается, если из площади большого прямоугольника со сторонами $a$ и $(c + d)$ (равной $ac + ad$) вычесть площадь прямоугольника со сторонами $b$ и $(c + d)$ (равной $bc + bd$). В результате площадь оставшейся фигуры равна $(ac + ad) - (bc + bd) = ac - bc + ad - bd$. Это и доказывает равенство.

322*. Докажите, что если $x$ — натуральное число, то разность $x - S(x)$ делится на 9.

Доказательство.

Пусть дано $n$-значное натуральное число $x$, его можно записать в виде

$x = 10^{n-1} \cdot a_{n-1} + 10^{n-2} \cdot a_{n-2} + \dots + 10^2 \cdot a_2 + 10 \cdot a_1 + a_0,$

где $a_{n-1}$, $a_{n-2}$, ..., $a_2$, $a_1$, $a_0$ — цифры разрядов числа $x$.

Каждая степень числа 10 есть сумма числа, кратного 9, и единицы, поэтому

$x = 9k + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1 + a_0 = 9k + S(x), $

где $k$ — некоторое натуральное число.

Доказательство

Для доказательства этого утверждения мы представим натуральное число $x$ в его десятичной записи и проанализируем разность между самим числом и суммой его цифр.

Пусть $x$ — произвольное $n$-значное натуральное число. Его можно представить в виде суммы произведений его цифр на соответствующие степени числа 10: $x = a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + a_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0$ где $a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0$ — это цифры числа $x$ (целые числа от 0 до 9), причем старшая цифра $a_{n-1} \neq 0$.

Сумма цифр этого числа, которую мы обозначим как $S(x)$, равна: $S(x) = a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1 + a_0$

Теперь рассмотрим разность $x - S(x)$: $x - S(x) = (a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + a_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0) - (a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_1 + a_0)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами $a_i$: $x - S(x) = (a_{n-1} \cdot 10^{n-1} - a_{n-1}) + (a_{n-2} \cdot 10^{n-2} - a_{n-2}) + \dots + (a_1 \cdot 10 - a_1) + (a_0 \cdot 1 - a_0)$

Вынесем общие множители $a_i$ за скобки в каждой группе: $x - S(x) = a_{n-1}(10^{n-1} - 1) + a_{n-2}(10^{n-2} - 1) + \dots + a_1(10 - 1) + a_0(1 - 1)$

Рассмотрим выражения в скобках вида $10^k - 1$ для любого натурального $k \geq 1$:

• $10^1 - 1 = 9$
• $10^2 - 1 = 100 - 1 = 99$
• $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$

В общем виде число $10^k - 1$ представляет собой число, состоящее из $k$ девяток: $\underbrace{99\dots9}_{k \text{ раз}}$. Каждое такое число очевидно делится на 9. Например, $99 = 9 \cdot 11$, $999 = 9 \cdot 111$ и так далее.

Таким образом, каждое слагаемое в выражении для $x - S(x)$ имеет вид $a_i(10^i - 1)$ (для $i \geq 1$) и является произведением целого числа $a_i$ на число, кратное 9. Следовательно, каждое такое слагаемое делится на 9. Последнее слагаемое $a_0(1-1)$ равно 0, что также делится на 9.

Поскольку каждое слагаемое в сумме $a_{n-1}(10^{n-1} - 1) + a_{n-2}(10^{n-2} - 1) + \dots + a_1(10 - 1)$ делится на 9, то и вся сумма делится на 9.

Это доказывает, что разность $x - S(x)$ всегда делится на 9 для любого натурального числа $x$.

Ответ: Утверждение доказано. Разность между любым натуральным числом $x$ и суммой его цифр $S(x)$ всегда делится на 9.

323*. Пусть даны два натуральных числа. Докажите, что если сумма всех цифр этих чисел делится на 9, то и сумма данных чисел делится на 9.

Для доказательства воспользуемся известным свойством делимости на 9: любое натуральное число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.

Пусть даны два натуральных числа, обозначим их $A$ и $B$.

Пусть $S(A)$ — это сумма цифр числа $A$, а $S(B)$ — это сумма цифр числа $B$.

Согласно упомянутому свойству, мы можем записать следующие сравнения по модулю 9:
$A \equiv S(A) \pmod{9}$
$B \equiv S(B) \pmod{9}$

Сложим эти два сравнения. Согласно свойствам сравнений, их можно почленно складывать:
$A + B \equiv S(A) + S(B) \pmod{9}$

Это сравнение означает, что сумма чисел $A+B$ дает такой же остаток при делении на 9, как и сумма всех их цифр, то есть $S(A) + S(B)$.

По условию задачи, сумма всех цифр этих чисел, то есть $S(A) + S(B)$, делится на 9. Это значит, что остаток от деления этой суммы на 9 равен нулю:
$S(A) + S(B) \equiv 0 \pmod{9}$

Теперь подставим это в наше основное сравнение для суммы чисел:
$A + B \equiv 0 \pmod{9}$

Данное сравнение означает, что сумма чисел $A+B$ делится на 9 без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.

324*. Докажите, что для любого натурального числа $x$ сумма $x + 2S(x)$ делится на 3.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся известным свойством делимости: любое натуральное число $x$ и сумма его цифр $S(x)$ имеют одинаковые остатки при делении на 3. В терминах теории сравнений это свойство записывается как $x \equiv S(x) \pmod{3}$.

Доказательство свойства $x \equiv S(x) \pmod{3}$:

Пусть натуральное число $x$ имеет следующую десятичную запись:$x = a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0$, где $a_i$ — это цифры числа от 0 до 9.Тогда его можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:$x = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$.Сумма цифр этого числа равна:$S(x) = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$.Рассмотрим разность $x - S(x)$:$x - S(x) = (a_n \cdot 10^n + \dots + a_0) - (a_n + \dots + a_0) = a_n(10^n - 1) + a_{n-1}(10^{n-1} - 1) + \dots + a_1(10 - 1)$.Каждое число вида $10^k - 1$ представляет собой число, состоящее из $k$ девяток (например, $10^2 - 1 = 99$, $10^3 - 1 = 999$). Любое такое число делится на 9, а значит, и на 3.Следовательно, каждое слагаемое в выражении для $x - S(x)$ делится на 3, а значит и вся сумма $x - S(x)$ делится на 3. Если разность двух чисел делится на 3, то эти числа сравнимы по модулю 3, то есть $x \equiv S(x) \pmod{3}$. Свойство доказано.

Доказательство основного утверждения:

Теперь докажем, что сумма $x + 2S(x)$ делится на 3. Это равносильно доказательству того, что $x + 2S(x) \equiv 0 \pmod{3}$.Используя доказанное выше свойство $x \equiv S(x) \pmod{3}$, мы можем заменить $x$ на $S(x)$ в левой части доказываемого сравнения:$x + 2S(x) \equiv S(x) + 2S(x) \pmod{3}$.Упростим правую часть выражения:$S(x) + 2S(x) = 3S(x)$.Поскольку $S(x)$ является целым числом (как сумма цифр), то произведение $3S(x)$ очевидно делится на 3. Следовательно, $3S(x) \equiv 0 \pmod{3}$.Таким образом, мы показали, что $x + 2S(x) \equiv 0 \pmod{3}$, что и означает, что сумма $x + 2S(x)$ делится на 3 для любого натурального числа $x$.

Ответ: Утверждение доказано.