Страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

143. Упростите выражение:

а) $5(x + 2y) - 3(2x + y) = \dots$

б) $-2(x - y) - 3(y - x) = \dots$

в) $x(x - 2) + 2(x + 1) = \dots$

г) $-x(2x - 3) + 3(2 - x) = \dots$

а) $5(x + 2y) - 3(2x + y)$

Чтобы упростить выражение, нужно раскрыть скобки, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки (используя распределительное свойство), а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскрываем первую скобку: $5 \cdot x + 5 \cdot 2y = 5x + 10y$.

2. Раскрываем вторую скобку, учитывая знак минус перед тройкой: $-3 \cdot 2x - 3 \cdot y = -6x - 3y$.

3. Соединяем полученные части: $5x + 10y - 6x - 3y$.

4. Группируем и складываем подобные слагаемые (члены с $x$ и члены с $y$): $(5x - 6x) + (10y - 3y)$.

5. Выполняем вычисления: $-x + 7y$.

Ответ: $7y - x$

б) $-2(x - y) - 3(y - x)$

Раскрываем скобки, обращая внимание на знаки.

1. Раскрываем первую скобку: $-2 \cdot x - 2 \cdot (-y) = -2x + 2y$.

2. Раскрываем вторую скобку: $-3 \cdot y - 3 \cdot (-x) = -3y + 3x$.

3. Объединяем полученные выражения: $-2x + 2y - 3y + 3x$.

4. Группируем и приводим подобные слагаемые: $(-2x + 3x) + (2y - 3y)$.

5. Выполняем вычисления: $x - y$.

Ответ: $x - y$

в) $x(x - 2) + 2(x + 1)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

1. Раскрываем первую скобку: $x \cdot x + x \cdot (-2) = x^2 - 2x$.

2. Раскрываем вторую скобку: $2 \cdot x + 2 \cdot 1 = 2x + 2$.

3. Записываем выражение без скобок: $x^2 - 2x + 2x + 2$.

4. Приводим подобные слагаемые. Члены $-2x$ и $+2x$ в сумме дают ноль и взаимно уничтожаются: $x^2 + (-2x + 2x) + 2 = x^2 + 0 + 2$.

5. Получаем итоговый результат: $x^2 + 2$.

Ответ: $x^2 + 2$

г) $-x(2x - 3) + 3(2 - x)$

Раскрываем скобки, учитывая знаки множителей, и упрощаем.

1. Раскрываем первую скобку: $-x \cdot 2x - x \cdot (-3) = -2x^2 + 3x$.

2. Раскрываем вторую скобку: $3 \cdot 2 + 3 \cdot (-x) = 6 - 3x$.

3. Соединяем полученные части: $-2x^2 + 3x + 6 - 3x$.

4. Приводим подобные слагаемые. Члены $+3x$ и $-3x$ в сумме дают ноль: $-2x^2 + (3x - 3x) + 6 = -2x^2 + 0 + 6$.

5. Получаем упрощенное выражение: $-2x^2 + 6$.

Ответ: $-2x^2 + 6$

144. Упростите выражение:

a) $a(b + c) - b(a - c) - c(b + a) = $

б) $a(b - c) - b(a - c) - c(b - a) = $

в) $a(b - c) + c(a - b) - b(a - c) = $

г) $a(a - b) + b(2a + b) + b(2a - b) - a(a + b) = $

а) $a(b + c) - b(a - c) - c(b + a)$
Для упрощения выражения раскроем скобки, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри скобок. Необходимо внимательно следить за знаками.
$a(b + c) = ab + ac$
$-b(a - c) = -(ab - bc) = -ab + bc$
$-c(b + a) = -(cb + ca) = -bc - ac$
Теперь подставим раскрытые скобки обратно в выражение и сложим полученные результаты:
$ab + ac - ab + bc - bc - ac$
Сгруппируем подобные слагаемые:
$(ab - ab) + (ac - ac) + (bc - bc)$
Сокращаем подобные члены:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

б) $a(b - c) - b(a - c) - c(b - a)$
Раскроем скобки в каждом слагаемом:
$a(b - c) = ab - ac$
$-b(a - c) = -ab + bc$
$-c(b - a) = -cb + ca = -bc + ac$
Соберем все члены вместе:
$ab - ac - ab + bc - bc + ac$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (bc - bc)$
В результате все члены взаимно уничтожаются:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

в) $a(b - c) + c(a - b) - b(a - c)$
Применим распределительный закон для раскрытия скобок:
$a(b - c) = ab - ac$
$c(a - b) = ca - cb = ac - bc$
$-b(a - c) = -ab + bc$
Теперь сложим все полученные выражения:
$ab - ac + ac - bc - ab + bc$
Сгруппируем подобные члены и выполним сложение/вычитание:
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (-bc + bc)$
Все слагаемые сокращаются:
$0 + 0 + 0 = 0$
Ответ: $0$

г) $a(a - b) + b(2a + b) + b(2a - b) - a(a + b)$
Последовательно раскроем все скобки:
$a(a - b) = a^2 - ab$
$b(2a + b) = 2ab + b^2$
$b(2a - b) = 2ab - b^2$
$-a(a + b) = -a^2 - ab$
Запишем выражение в развернутом виде:
$a^2 - ab + 2ab + b^2 + 2ab - b^2 - a^2 - ab$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по переменным:
$(a^2 - a^2) + (-ab + 2ab + 2ab - ab) + (b^2 - b^2)$
Выполним вычисления в каждой группе:
$0 + (4ab - 2ab) + 0 = 2ab$
Ответ: $2ab$

145. Вынесите общий множитель за скобки:

а) $3x^2 + 5x = \dots$

б) $2xy + 2x = \dots$

в) $3x^2 - 3x = \dots$

г) $3xy - 7y = \dots$

д) $3x^3 - 2x^2 + x = \dots$

е) $5y^5 - 6y^4 + 7y^3 = \dots$

а) $3x^2 + 5x$

В выражении $3x^2 + 5x$ оба члена содержат переменную $x$. Общим множителем для переменных является переменная в наименьшей степени, то есть $x^1$ или просто $x$. Коэффициенты 3 и 5 являются взаимно простыми числами, их наибольший общий делитель равен 1. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $x$.

Разделим каждый член многочлена на $x$:

$\frac{3x^2}{x} = 3x$

$\frac{5x}{x} = 5$

Запишем результат, вынеся $x$ за скобки: $x(3x + 5)$.

Ответ: $x(3x + 5)$

б) $2xy + 2x$

В выражении $2xy + 2x$ оба члена содержат числовой множитель 2 и переменную $x$. Таким образом, общий множитель — это $2x$.

Разделим каждый член многочлена на $2x$:

$\frac{2xy}{2x} = y$

$\frac{2x}{2x} = 1$

Запишем результат, вынеся $2x$ за скобки: $2x(y + 1)$.

Ответ: $2x(y + 1)$

в) $3x^2 - 3x$

В выражении $3x^2 - 3x$ оба члена содержат числовой множитель 3 и переменную $x$. Наименьшая степень переменной $x$ — первая. Следовательно, общий множитель — это $3x$.

Разделим каждый член многочлена на $3x$:

$\frac{3x^2}{3x} = x$

$\frac{-3x}{3x} = -1$

Запишем результат, вынеся $3x$ за скобки: $3x(x - 1)$.

Ответ: $3x(x - 1)$

г) $3xy - 7y$

В выражении $3xy - 7y$ оба члена содержат переменную $y$. Коэффициенты 3 и 7 взаимно простые. Общий множитель — это $y$.

Разделим каждый член многочлена на $y$:

$\frac{3xy}{y} = 3x$

$\frac{-7y}{y} = -7$

Запишем результат, вынеся $y$ за скобки: $y(3x - 7)$.

Ответ: $y(3x - 7)$

д) $3x^3 - 2x^2 + x$

В выражении $3x^3 - 2x^2 + x$ все три члена содержат переменную $x$. Наименьшая степень переменной $x$ — первая ($x = x^1$). Коэффициенты 3, -2 и 1 не имеют общих делителей кроме 1. Общий множитель — это $x$.

Разделим каждый член многочлена на $x$:

$\frac{3x^3}{x} = 3x^2$

$\frac{-2x^2}{x} = -2x$

$\frac{x}{x} = 1$

Запишем результат, вынеся $x$ за скобки: $x(3x^2 - 2x + 1)$.

Ответ: $x(3x^2 - 2x + 1)$

е) $5y^5 - 6y^4 + 7y^3$

В выражении $5y^5 - 6y^4 + 7y^3$ все три члена содержат переменную $y$. Наименьшая степень переменной $y$ — третья ($y^3$). Коэффициенты 5, -6 и 7 не имеют общих делителей кроме 1. Общий множитель — это $y^3$.

Разделим каждый член многочлена на $y^3$:

$\frac{5y^5}{y^3} = 5y^{5-3} = 5y^2$

$\frac{-6y^4}{y^3} = -6y^{4-3} = -6y$

$\frac{7y^3}{y^3} = 7y^{3-3} = 7y^0 = 7$

Запишем результат, вынеся $y^3$ за скобки: $y^3(5y^2 - 6y + 7)$.

Ответ: $y^3(5y^2 - 6y + 7)$

316. В один из дней каникул учащиеся класса, кроме нескольких оставшихся дома, отправились гулять. 12 учащихся — $ \frac{1}{3} $ всех девочек и $ \frac{1}{2} $ всех мальчиков — пошли в кино, а ещё 13 человек — $ \frac{1}{2} $ всех девочек и $ \frac{1}{3} $ всех мальчиков — пошли на выставку. Сколько учащихся этого класса осталось дома?

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы обозначить общее количество девочек и мальчиков в классе.

Пусть $Д$ — это общее количество девочек в классе.

Пусть $М$ — это общее количество мальчиков в классе.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: 12 учащихся пошли в кино. Эта группа состояла из трети всех девочек ($\frac{1}{3}Д$) и половины всех мальчиков ($\frac{1}{2}М$). Запишем это в виде уравнения:

$\frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}М = 12$

Второе условие: 13 человек пошли на выставку. Эта группа состояла из половины всех девочек ($\frac{1}{2}Д$) и трети всех мальчиков ($\frac{1}{3}М$). Запишем второе уравнение:

$\frac{1}{2}Д + \frac{1}{3}М = 13$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}М = 12 \\ \frac{1}{2}Д + \frac{1}{3}М = 13 \end{cases} $$

Чтобы найти общее число учащихся в классе ($Д + М$), мы можем сложить оба уравнения системы:

$(\frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}М) + (\frac{1}{2}Д + \frac{1}{3}М) = 12 + 13$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(\frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}Д) + (\frac{1}{2}М + \frac{1}{3}М) = 25$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$(\frac{2}{6}Д + \frac{3}{6}Д) + (\frac{3}{6}М + \frac{2}{6}М) = 25$

$\frac{5}{6}Д + \frac{5}{6}М = 25$

Вынесем общий множитель $\frac{5}{6}$ за скобки:

$\frac{5}{6}(Д + М) = 25$

Теперь мы можем найти общее число учащихся в классе ($Д + М$):

$Д + М = 25 \div \frac{5}{6} = 25 \times \frac{6}{5} = 30$

Итак, всего в классе 30 учащихся.

Далее найдем, сколько всего учащихся отправились гулять. Для этого сложим количество ушедших в кино и на выставку:

$12 + 13 = 25$ учащихся.

Чтобы определить, сколько учащихся осталось дома, вычтем из общего числа учащихся в классе количество тех, кто ушел гулять:

$30 - 25 = 5$ учащихся.

Ответ: 5 учащихся этого класса остались дома.

317. Расстояние между пунктами A и B равно 800 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 5 ч. Если бы скорость первого автомобиля была на 20 км/ч больше, а скорость второго — на 20 % больше, то они встретились бы через 4 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.

Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого автомобиля, а $v_2$ км/ч — первоначальная скорость второго автомобиля.

Когда два автомобиля движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей ($v_1 + v_2$). По условию, расстояние между пунктами А и В равно 800 км, и автомобили встретились через 5 часов. Составим первое уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$: $$ (v_1 + v_2) \cdot 5 = 800 $$ Разделив обе части уравнения на 5, получим: $$ v_1 + v_2 = 160 $$

Далее рассмотрим вторую ситуацию. Если бы скорость первого автомобиля была на 20 км/ч больше, она бы составила $(v_1 + 20)$ км/ч. Если бы скорость второго автомобиля была на 20% больше, она бы составила $v_2 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 1.2v_2$ км/ч. В этом случае они бы встретились через 4 часа.

Их новая скорость сближения была бы $((v_1 + 20) + 1.2v_2)$ км/ч. Составим второе уравнение для этой ситуации: $$ ((v_1 + 20) + 1.2v_2) \cdot 4 = 800 $$ Разделив обе части уравнения на 4, получим: $$ v_1 + 20 + 1.2v_2 = 200 $$ Перенесем 20 в правую часть: $$ v_1 + 1.2v_2 = 180 $$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений: $$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 160 \\ v_1 + 1.2v_2 = 180 \end{cases} $$ Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $v_1$: $$ (v_1 + 1.2v_2) - (v_1 + v_2) = 180 - 160 $$ $$ 0.2v_2 = 20 $$ $$ v_2 = \frac{20}{0.2} = 100 $$ Таким образом, скорость второго автомобиля равна 100 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля, подставив найденное значение $v_2$ в первое уравнение ($v_1 + v_2 = 160$): $$ v_1 + 100 = 160 $$ $$ v_1 = 160 - 100 = 60 $$ Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч.

Проверим полученные результаты. Исходные скорости: $v_1+v_2 = 60+100=160$ км/ч. Время встречи: $t = S / (v_1+v_2) = 800 / 160 = 5$ ч. Это соответствует условию. Измененные скорости: $v'_1 = 60+20=80$ км/ч, $v'_2 = 100 \cdot 1.2 = 120$ км/ч. Новая скорость сближения: $v'_1+v'_2 = 80+120=200$ км/ч. Время встречи: $t' = S / (v'_1+v'_2) = 800 / 200 = 4$ ч. Это также соответствует условию.

Ответ: скорость первого автомобиля — 60 км/ч, скорость второго автомобиля — 100 км/ч.