Номер 317, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 317, страница 53.

Условие.

317. Расстояние между пунктами A и B равно 800 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 5 ч. Если бы скорость первого автомобиля была на 20 км/ч больше, а скорость второго — на 20 % больше, то они встретились бы через 4 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение.

Решение 2.

Пусть $v_1$ км/ч — первоначальная скорость первого автомобиля, а $v_2$ км/ч — первоначальная скорость второго автомобиля.

Когда два автомобиля движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей ($v_1 + v_2$). По условию, расстояние между пунктами А и В равно 800 км, и автомобили встретились через 5 часов. Составим первое уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$: $$ (v_1 + v_2) \cdot 5 = 800 $$ Разделив обе части уравнения на 5, получим: $$ v_1 + v_2 = 160 $$

Далее рассмотрим вторую ситуацию. Если бы скорость первого автомобиля была на 20 км/ч больше, она бы составила $(v_1 + 20)$ км/ч. Если бы скорость второго автомобиля была на 20% больше, она бы составила $v_2 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 1.2v_2$ км/ч. В этом случае они бы встретились через 4 часа.

Их новая скорость сближения была бы $((v_1 + 20) + 1.2v_2)$ км/ч. Составим второе уравнение для этой ситуации: $$ ((v_1 + 20) + 1.2v_2) \cdot 4 = 800 $$ Разделив обе части уравнения на 4, получим: $$ v_1 + 20 + 1.2v_2 = 200 $$ Перенесем 20 в правую часть: $$ v_1 + 1.2v_2 = 180 $$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений: $$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 160 \\ v_1 + 1.2v_2 = 180 \end{cases} $$ Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $v_1$: $$ (v_1 + 1.2v_2) - (v_1 + v_2) = 180 - 160 $$ $$ 0.2v_2 = 20 $$ $$ v_2 = \frac{20}{0.2} = 100 $$ Таким образом, скорость второго автомобиля равна 100 км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля, подставив найденное значение $v_2$ в первое уравнение ($v_1 + v_2 = 160$): $$ v_1 + 100 = 160 $$ $$ v_1 = 160 - 100 = 60 $$ Скорость первого автомобиля равна 60 км/ч.

Проверим полученные результаты. Исходные скорости: $v_1+v_2 = 60+100=160$ км/ч. Время встречи: $t = S / (v_1+v_2) = 800 / 160 = 5$ ч. Это соответствует условию. Измененные скорости: $v'_1 = 60+20=80$ км/ч, $v'_2 = 100 \cdot 1.2 = 120$ км/ч. Новая скорость сближения: $v'_1+v'_2 = 80+120=200$ км/ч. Время встречи: $t' = S / (v'_1+v'_2) = 800 / 200 = 4$ ч. Это также соответствует условию.

Ответ: скорость первого автомобиля — 60 км/ч, скорость второго автомобиля — 100 км/ч.