Номер 320, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 320, страница 55.

Условие.

320*. Докажите, что если разность двух натуральных чисел $a$ и $b$ делится на натуральное число $n$, то остатки при делении чисел $a$ и $b$ на $n$ равны.

Доказательство. Пусть $a - b$ делится на $n$ и пусть $a = x \cdot n + r$, $b = y \cdot n + p$, где $x, y, r, p$ — натуральные числа. Тогда

$a - b = x \cdot n + r - y \cdot n - p = (x - y) \cdot n + (r - p)$

делится на $n$ лишь при условии .........

Решение.

Решение 2.

Доказательство.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$, и пусть их разность $(a-b)$ делится на натуральное число $n$ без остатка. Нам нужно доказать, что остатки от деления $a$ на $n$ и $b$ на $n$ равны.

Согласно определению деления с остатком, любое натуральное число $a$ можно единственным образом представить в виде: $a = x \cdot n + r$, где $x$ — это неполное частное (целое неотрицательное число), а $r$ — это остаток от деления $a$ на $n$, причём $r$ является целым числом, удовлетворяющим условию $0 \le r < n$.

Аналогично представим число $b$: $b = y \cdot n + p$, где $y$ — неполное частное, а $p$ — остаток от деления $b$ на $n$, причём $0 \le p < n$.

Теперь найдём разность чисел $a$ и $b$, используя эти представления: $a - b = (x \cdot n + r) - (y \cdot n + p)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, как показано в задании: $a - b = x \cdot n + r - y \cdot n - p = (x \cdot n - y \cdot n) + (r - p) = (x - y) \cdot n + (r - p)$

По условию задачи, разность $(a - b)$ делится на $n$. Рассмотрим получившееся выражение $(x - y) \cdot n + (r - p)$. Первое слагаемое, $(x - y) \cdot n$, очевидно делится на $n$, поскольку является произведением целого числа $(x - y)$ и $n$.

Известно, что если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, и одно из слагаемых делится на это число, то и второе слагаемое также должно делиться на это число. В нашем случае, так как вся сумма $(a-b)$ делится на $n$ и слагаемое $(x-y) \cdot n$ делится на $n$, то и второе слагаемое, равное $(r-p)$, должно делиться на $n$.

Теперь рассмотрим, какие значения может принимать разность остатков $(r - p)$. Мы знаем, что остатки по определению удовлетворяют неравенствам: $0 \le r < n$ и $0 \le p < n$.

Чтобы найти границы для $(r-p)$, умножим второе неравенство на $-1$. При этом знаки неравенства изменятся: $-n < -p \le 0$.

Теперь сложим почленно неравенство для $r$ и преобразованное неравенство для $-p$: $0 + (-n) < r + (-p) < n + 0$, откуда получаем: $-n < r - p < n$

Итак, мы получили два условия для величины $(r-p)$:

1. Разность $(r-p)$ должна делиться на $n$.
2. Разность $(r-p)$ находится в интервале $(-n, n)$.

Единственное целое число в интервале от $-n$ до $n$ (не включая концы), которое делится на $n$, — это число 0. Следовательно, должно выполняться равенство $r - p = 0$, что означает $r = p$.

Таким образом, мы доказали, что остатки от деления чисел $a$ и $b$ на $n$ равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: в выражении $a-b = (x-y) \cdot n + (r-p)$, которое по условию делится на $n$, слагаемое $(x-y) \cdot n$ также делится на $n$. Это возможно лишь при условии, что второе слагаемое, разность остатков $(r-p)$, тоже делится на $n$. Учитывая, что остатки $r$ и $p$ удовлетворяют неравенствам $0 \le r < n$ и $0 \le p < n$, их разность $(r-p)$ находится в интервале $-n < r-p < n$. Единственное целое число в этом интервале, кратное $n$, — это 0. Следовательно, $r-p=0$, а значит, $r=p$.