Номер 326, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 326, страница 57.

Условие.

326*. Докажите признак делимости натурального числа на 11: если разность суммы цифр числа, стоящих на нечётных местах в десятичной записи натурального числа, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11, то данное число делится на 11.

Например, число 171 809 делится на 11, так как $(7 + 8 + 9) - (1 + 1 + 0) = 22$ делится на 11.

Доказательство. Проведём доказательство для шестизначного числа:

$$\overline{abcdef} = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f = \\ = 100001a - a + 9999b + b + 1001c - c + 99d + d + 11e - e + f.$$

Решение.

Решение 2.

Доказательство.

Докажем сначала утверждение для шестизначного числа, как предложено в задаче, а затем обобщим его для любого натурального числа.

Пусть дано шестизначное число $\overline{abcdef}$. Его можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{abcdef} = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f$

Преобразуем каждый коэффициент при цифрах так, чтобы выделить слагаемое, кратное 11. Для этого воспользуемся тем, что числа вида $99, 9999, ...$ (чётное количество девяток) и $1001, 100001, ...$ (единицы по краям, а между ними чётное количество нулей) делятся на 11.
$100000 = 100001 - 1$
$10000 = 9999 + 1$
$1000 = 1001 - 1$
$100 = 99 + 1$
$10 = 11 - 1$

Подставим эти представления в исходное выражение:
$\overline{abcdef} = (100001 - 1)a + (9999 + 1)b + (1001 - 1)c + (99 + 1)d + (11 - 1)e + f$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\overline{abcdef} = 100001a - a + 9999b + b + 1001c - c + 99d + d + 11e - e + f$
$\overline{abcdef} = (100001a + 9999b + 1001c + 99d + 11e) + (-a + b - c + d - e + f)$

Выражение в первой скобке делится на 11, так как каждое слагаемое в нём кратно 11. Следовательно, делимость всего числа $\overline{abcdef}$ на 11 зависит только от делимости на 11 второго выражения:
$(-a + b - c + d - e + f) = (b + d + f) - (a + c + e)$

В десятичной записи числа $\overline{abcdef}$ цифры $a, c, e$ стоят на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м, если считать слева), а цифры $b, d, f$ — на чётных (2-м, 4-м, 6-м). Таким образом, мы получили разность между суммой цифр на чётных местах и суммой цифр на нечётных местах. Если эта разность делится на 11, то и исходное число делится на 11. Так как если число $X$ делится на 11, то и число $-X$ делится на 11, то не имеет значения, из какой суммы вычитать другую. Следовательно, признак доказан для шестизначного числа.

Общее доказательство.

Любое натуральное число $N$ можно записать в десятичной системе счисления в виде:
$N = a_k 10^k + a_{k-1} 10^{k-1} + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0$
где $a_0, a_1, \dots, a_k$ — это цифры числа ( $a_0$ — цифра разряда единиц, $a_1$ — десятков и т.д.).

Рассмотрим остатки от деления степеней числа 10 на 11. Этот метод известен как сравнение по модулю.
$10 \equiv -1 \pmod{11}$
$10^2 = 100 = 9 \cdot 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$
$10^3 = 10^2 \cdot 10 \equiv 1 \cdot (-1) \equiv -1 \pmod{11}$
В общем виде, для любого натурального показателя $n$: $10^n \equiv (-1)^n \pmod{11}$.

Используя это свойство, запишем сравнение для числа $N$ по модулю 11:
$N \equiv a_k (-1)^k + a_{k-1} (-1)^{k-1} + \dots + a_1 (-1)^1 + a_0 (-1)^0 \pmod{11}$
$N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + (-1)^k a_k \pmod{11}$

Сгруппируем слагаемые с положительными и отрицательными знаками:
$N \equiv (a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots) \pmod{11}$

Цифры $a_0, a_2, a_4, \dots$ стоят на нечётных местах, если считать справа (1-е, 3-е, 5-е место и т.д.).
Цифры $a_1, a_3, a_5, \dots$ стоят на чётных местах, если считать справа (2-е, 4-е, 6-е место и т.д.).

Таким образом, число $N$ делится на 11 (то есть $N \equiv 0 \pmod{11}$) тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Ответ: Доказательство основано на свойстве степеней числа 10: $10^n$ даёт остаток 1 при делении на 11 для чётных $n$ и остаток -1 для нечётных $n$. Это позволяет представить любое число в виде суммы двух слагаемых: одно из них является группой членов, кратных 11, а другое — знакопеременной суммой его цифр. Делимость числа на 11 полностью определяется делимостью этой знакопеременной суммы, которая и представляет собой разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах, что и требовалось доказать.