Номер 328, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 328, страница 57.

Условие.

328*. Докажите, что число $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017}$ делится на 3.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что число $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017}$ делится на 3, можно воспользоваться свойствами сравнений по модулю. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда его остаток от деления на 3 равен 0. Докажем, что данное выражение сравнимо с 0 по модулю 3.

Для этого последовательно найдем остатки от деления на 3 для каждого компонента выражения.

1. Остатки для коэффициентов 2017 и 2018.

Для нахождения остатка от деления числа на 3 можно использовать сумму его цифр. Число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3.

• Для числа 2017: сумма цифр равна $2+0+1+7=10$. При делении 10 на 3 получаем в остатке 1. Следовательно, $2017 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Для числа 2018: сумма цифр равна $2+0+1+8=11$. При делении 11 на 3 получаем в остатке 2. Следовательно, $2018 \equiv 2 \pmod{3}$.

2. Остаток для основания степени 10.

При делении 10 на 3 в остатке получаем 1. Следовательно, $10 \equiv 1 \pmod{3}$.

3. Остатки для степеней числа 10.

Используя свойство сравнений $(a \equiv b \pmod{m} \implies a^n \equiv b^n \pmod{m})$, получаем:

$10^{2018} \equiv 1^{2018} \equiv 1 \pmod{3}$

$10^{2017} \equiv 1^{2017} \equiv 1 \pmod{3}$

4. Вычисление остатка для всего выражения.

Теперь подставим найденные остатки в исходное выражение:

$2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017} \equiv (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) \pmod{3}$

Выполним вычисления:

$1 + 2 = 3$

Так как $3$ делится на $3$ без остатка, то $3 \equiv 0 \pmod{3}$.

Таким образом, мы показали, что $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017} \equiv 0 \pmod{3}$. Это означает, что остаток от деления исходного числа на 3 равен 0, следовательно, число делится на 3.

Ответ: Доказано, что число $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017}$ делится на 3.