Номер 333, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 3. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения. Часть 2 - номер 333, страница 63.

Условие.

333. Решите в натуральных числах уравнение $3x + 5y = 42$.

Решение.

Решение 2.

Дано уравнение $3x + 5y = 42$, которое необходимо решить в натуральных числах. Это означает, что $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами ($x \ge 1$, $y \ge 1$).

Для решения задачи выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $x$ через $y$:

$3x = 42 - 5y$

$x = \frac{42 - 5y}{3}$

Поскольку $x$ должен быть натуральным числом, на переменную $y$ накладываются два основных ограничения:

1. Значение $x$ должно быть положительным, то есть $x > 0$. Отсюда следует, что и числитель дроби должен быть положительным: $42 - 5y > 0$.

Решим это неравенство относительно $y$:

$42 > 5y$

$y < \frac{42}{5}$

$y < 8.4$

2. Значение $x$ должно быть целым числом. Это означает, что выражение $42 - 5y$ должно делиться на $3$ без остатка.

Так как $y$ по условию является натуральным числом и, как мы выяснили, $y < 8.4$, то возможные значения для $y$ принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

Теперь проверим, какие из этих значений удовлетворяют второму условию (делимости на $3$). Выражение $42 - 5y$ должно быть кратно $3$. Поскольку число $42$ само по себе делится на $3$ ($42 = 3 \cdot 14$), для того чтобы вся разность делилась на $3$, необходимо, чтобы и вычитаемое $5y$ также делилось на $3$.

Так как множитель $5$ не делится на $3$, то на $3$ должен делиться множитель $y$.

Из нашего множества возможных значений для $y$ выберем те, которые кратны $3$. Это $y = 3$ и $y = 6$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из этих случаев.

Случай 1: $y = 3$.

Подставим это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{42 - 5 \cdot 3}{3} = \frac{42 - 15}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Полученное значение $x=9$ является натуральным числом. Следовательно, пара $(9; 3)$ является решением уравнения.

Случай 2: $y = 6$.

Подставим это значение в формулу для $x$:

$x = \frac{42 - 5 \cdot 6}{3} = \frac{42 - 30}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Полученное значение $x=4$ также является натуральным числом. Следовательно, пара $(4; 6)$ тоже является решением.

Следующее значение $y$, кратное трем, это $y=9$. Оно не удовлетворяет условию $y < 8.4$, поэтому дальнейший перебор не имеет смысла. Мы нашли все возможные решения.

Ответ: $(9; 3), (4; 6)$.