Номер 334, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 3. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения. Часть 2 - номер 334, страница 63.

Условие.

334. Решите уравнение в целых числах:

а) $3x + 2y = 18$;

б) $3x + 5y = 42$.

Решение.

Решение 2.

а) Решим уравнение $3x + 2y = 18$ в целых числах.

Это линейное диофантово уравнение. Для его решения выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить ту переменную, у которой коэффициент по модулю меньше, в данном случае это $y$.

$2y = 18 - 3x$

$y = \frac{18 - 3x}{2}$

$y = 9 - \frac{3}{2}x$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, выражение $\frac{3}{2}x$ должно быть таким, чтобы разность $9 - \frac{3}{2}x$ была целым числом. Так как 9 — целое число, то и $\frac{3}{2}x$ должно быть целым числом. Это означает, что $3x$ должно делиться на 2. Так как числа 3 и 2 взаимно простые, то $x$ должен быть кратен 2.

Введем параметр $k$, который является целым числом ($k \in \mathbb{Z}$), и запишем $x$ в виде:

$x = 2k$

Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:

$y = 9 - \frac{3}{2}(2k) = 9 - 3k$

Таким образом, мы получили общее решение уравнения в целых числах. Оно представляет собой множество пар $(x, y)$, где $x$ и $y$ выражены через целый параметр $k$.

Ответ: $x = 2k, y = 9 - 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $3x + 5y = 42$ в целых числах.

Это также линейное диофантово уравнение. Наибольший общий делитель коэффициентов при $x$ и $y$, $\text{НОД}(3, 5) = 1$. Так как 1 делит 42, уравнение имеет решения в целых числах.

Выразим переменную с меньшим по модулю коэффициентом, то есть $x$, через $y$.

$3x = 42 - 5y$

$x = \frac{42 - 5y}{3}$

$x = 14 - \frac{5}{3}y$

Для того чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы дробное слагаемое $\frac{5}{3}y$ также было целым. Это значит, что $5y$ должно делиться на 3. Поскольку числа 5 и 3 взаимно простые, $y$ должен быть кратен 3.

Введем целый параметр $k$ ($k \in \mathbb{Z}$) и представим $y$ в виде:

$y = 3k$

Подставим это выражение для $y$ в формулу для $x$:

$x = 14 - \frac{5}{3}(3k) = 14 - 5k$

Таким образом, общее решение данного уравнения в целых числах найдено.

Ответ: $x = 14 - 5k, y = 3k$, где $k \in \mathbb{Z}$.