Номер 335, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 3. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения. Часть 2 - номер 335, страница 64.

Условие.

335. На 480 р. купили несколько эскимо по 35 р. и несколько булочек по 27 р. Определите, сколько эскимо и сколько булочек купили.

Пусть купили $m$ эскимо и $n$ булочек ($m$ и $n$ — натуральные числа). Тогда верно равенство $35m + 27n = 480$.

Заметим, что для наименьшего значения $m = 1$ корень уравнения $35 + 27n = 480$ равен $16,481...$. Это число не натуральное.

С увеличением значения $m$ в равенстве $35m + 27n = 480$ значения $n$ уменьшаются, т. е. $n < 17$.

Числа 35 и 480 делятся на 5, а число 27 не делится на 5, значит, равенство возможно только для тех $n$, которые делятся на 5. Из значений $n$, равных 5, 10, 15, выберем такое, для которого $m = \frac{480 - 27n}{35}$ является натуральным числом.

Решение.

Решение 2.

Определение количества эскимо и булочек

Пусть m — количество купленных эскимо, а n — количество купленных булочек. Поскольку цена одного эскимо составляет 35 рублей, а одной булочки — 27 рублей, общая стоимость покупки в 480 рублей выражается уравнением: $35m + 27n = 480$

В условии задачи сказано, что купили "несколько" эскимо и "несколько" булочек, что означает, что m и n являются натуральными числами (то есть целыми и положительными: $m \geq 1$, $n \geq 1$). Полученное уравнение является линейным диофантовым уравнением, и его нужно решить в натуральных числах. Для этого воспользуемся методом анализа делимости, как предложено в условии.

Преобразуем уравнение, чтобы выразить один из членов: $35m = 480 - 27n$

Левая часть этого равенства, $35m$, очевидно делится на 5, так как один из множителей (35) кратен 5. Следовательно, и правая часть, $480 - 27n$, также должна быть кратна 5.

Число 480 делится на 5 (так как его последняя цифра 0). Чтобы разность $(480 - 27n)$ делилась на 5, необходимо, чтобы и вычитаемое $27n$ делилось на 5. Так как множитель 27 не делится на 5, то на 5 должен делиться другой множитель, то есть n.

Теперь определим возможный диапазон для n. Так как m — натуральное число, то $m \geq 1$, а значит $35m \geq 35$. Подставим это в преобразованное уравнение: $480 - 27n \geq 35$ $480 - 35 \geq 27n$ $445 \geq 27n$ $n \leq \frac{445}{27} \approx 16.48$

Таким образом, мы ищем натуральное число n, которое одновременно удовлетворяет двум условиям:
1. $1 \leq n \leq 16$
2. n кратно 5
Этим условиям соответствуют значения: $n = 5, 10, 15$.

Проверим каждое из этих значений, подставляя их в формулу для m, которая получается из того же уравнения: $m = \frac{480 - 27n}{35}$. Значение m должно быть натуральным числом.

Случай 1: $n = 5$
$m = \frac{480 - 27 \times 5}{35} = \frac{480 - 135}{35} = \frac{345}{35} \approx 9.86$. Это число не является целым, поэтому данное решение не подходит.

Случай 2: $n = 10$
$m = \frac{480 - 27 \times 10}{35} = \frac{480 - 270}{35} = \frac{210}{35} = 6$. Значение $m=6$ является натуральным числом. Таким образом, пара $(m=6, n=10)$ является решением.

Случай 3: $n = 15$
$m = \frac{480 - 27 \times 15}{35} = \frac{480 - 405}{35} = \frac{75}{35} \approx 2.14$. Это число также не является целым, поэтому данное решение не подходит.

Единственным решением в натуральных числах является пара, где количество эскимо $m=6$, а количество булочек $n=10$. Проведем проверку: $35 \times 6 + 27 \times 10 = 210 + 270 = 480$. Равенство верное.

Ответ: было куплено 6 эскимо и 10 булочек.