Номер 332, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 2. Делимость многочленов. Дополнения. Часть 2 - номер 332, страница 61.

Условие.

332. Найдите все целые значения n, при каждом из которых значение дроби является целым числом:

а) $\frac{3n + 4}{n}$;

$\frac{3n + 4}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{4}{n} = 3 + \frac{4}{n}$ — целое число, если n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы дробь $\frac{3n + 4}{n}$ была целым числом, необходимо выделить из нее целую часть.
$\frac{3n + 4}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{4}{n} = 3 + \frac{4}{n}$
Выражение $3 + \frac{4}{n}$ является целым числом, если дробь $\frac{4}{n}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $n$ является делителем числителя 4.
Целые делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Следовательно, $n$ может принимать значения: -4, -2, -1, 1, 2, 4.
Ответ: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

б) Преобразуем дробь $\frac{3n + 5}{n + 1}$, выделив целую часть. Для этого представим числитель через знаменатель:
$\frac{3n + 5}{n + 1} = \frac{3n + 3 + 2}{n + 1} = \frac{3(n + 1) + 2}{n + 1} = \frac{3(n + 1)}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} = 3 + \frac{2}{n + 1}$
Дробь будет целым числом, если выражение $\frac{2}{n + 1}$ будет целым. Это произойдет, если знаменатель $n + 1$ является делителем числителя 2.
Целые делители числа 2: $\pm1, \pm2$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 1 = 1 \implies n = 0$
2) $n + 1 = -1 \implies n = -2$
3) $n + 1 = 2 \implies n = 1$
4) $n + 1 = -2 \implies n = -3$
Ответ: -3, -2, 0, 1.

в) Выделим целую часть из дроби $\frac{2n - 7}{n - 1}$:
$\frac{2n - 7}{n - 1} = \frac{2n - 2 - 5}{n - 1} = \frac{2(n - 1) - 5}{n - 1} = \frac{2(n - 1)}{n - 1} - \frac{5}{n - 1} = 2 - \frac{5}{n - 1}$
Выражение будет целым, если $\frac{5}{n - 1}$ будет целым числом. Значит, $n - 1$ должен быть делителем числа 5.
Целые делители числа 5: $\pm1, \pm5$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n - 1 = 1 \implies n = 2$
2) $n - 1 = -1 \implies n = 0$
3) $n - 1 = 5 \implies n = 6$
4) $n - 1 = -5 \implies n = -4$
Ответ: -4, 0, 2, 6.

г) Выделим целую часть из дроби $\frac{5n - 3}{n + 2}$:
$\frac{5n - 3}{n + 2} = \frac{5n + 10 - 13}{n + 2} = \frac{5(n + 2) - 13}{n + 2} = \frac{5(n + 2)}{n + 2} - \frac{13}{n + 2} = 5 - \frac{13}{n + 2}$
Выражение будет целым, если $\frac{13}{n + 2}$ будет целым числом. Значит, $n + 2$ должен быть делителем числа 13.
Целые делители числа 13: $\pm1, \pm13$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 2 = 1 \implies n = -1$
2) $n + 2 = -1 \implies n = -3$
3) $n + 2 = 13 \implies n = 11$
4) $n + 2 = -13 \implies n = -15$
Ответ: -15, -3, -1, 11.

д) Выделим целую часть из дроби $\frac{n^2 - 4n - 2}{n + 1}$ с помощью деления многочлена на многочлен (уголком) или преобразования:
$\frac{n^2 - 4n - 2}{n + 1} = \frac{n^2 + n - 5n - 5 + 3}{n + 1} = \frac{n(n + 1) - 5(n + 1) + 3}{n + 1} = \frac{(n - 5)(n + 1) + 3}{n + 1} = n - 5 + \frac{3}{n + 1}$
Поскольку $n$ — целое число, то $n - 5$ также является целым. Значит, для целочисленности всего выражения необходимо, чтобы дробь $\frac{3}{n + 1}$ была целым числом. Это возможно, если $n + 1$ является делителем числа 3.
Целые делители числа 3: $\pm1, \pm3$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 1 = 1 \implies n = 0$
2) $n + 1 = -1 \implies n = -2$
3) $n + 1 = 3 \implies n = 2$
4) $n + 1 = -3 \implies n = -4$
Ответ: -4, -2, 0, 2.

е) Выделим целую часть из дроби $\frac{n^2 + 5n + 1}{n + 2}$:
$\frac{n^2 + 5n + 1}{n + 2} = \frac{n^2 + 2n + 3n + 6 - 5}{n + 2} = \frac{n(n + 2) + 3(n + 2) - 5}{n + 2} = \frac{(n + 3)(n + 2) - 5}{n + 2} = n + 3 - \frac{5}{n + 2}$
Поскольку $n$ — целое число, то $n + 3$ также является целым. Следовательно, выражение будет целым, если дробь $\frac{5}{n + 2}$ будет целым числом. Это возможно, если $n + 2$ является делителем числа 5.
Целые делители числа 5: $\pm1, \pm5$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 2 = 1 \implies n = -1$
2) $n + 2 = -1 \implies n = -3$
3) $n + 2 = 5 \implies n = 3$
4) $n + 2 = -5 \implies n = -7$
Ответ: -7, -3, -1, 3.