Страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

166. Докажите тождество:

а) $5 - (5 - (5 - (5 - x))) = x;$

б) $x - (x - (x - (x - 5))) = 5;$

в) $a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = 0;$

$a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = ab - ac - ba - bc + ...$

г) $a(b + c) - b(a + c) - c(a - b) = 0;$

д) $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1;$

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - x + x - 1 = ...$

е) $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4.$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Будем последовательно раскрывать скобки, начиная с самых внутренних:
$5 - (5 - (5 - (5 - x))) = 5 - (5 - (5 - 5 + x)) = 5 - (5 - x) = 5 - 5 + x = x$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой части ($x = x$).
Ответ: тождество $5 - (5 - (5 - (5 - x))) = x$ является верным.

б) Преобразуем левую часть тождества, последовательно раскрывая скобки, начиная с внутренних:
$x - (x - (x - (x - 5))) = x - (x - (x - x + 5)) = x - (x - 5) = x - x + 5 = 5$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой части ($5 = 5$).
Ответ: тождество $x - (x - (x - (x - 5))) = 5$ является верным.

в) Раскроем скобки в левой части выражения и приведем подобные слагаемые:
$a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = ab - ac - (ba + bc) + (cb + ca) = ab - ac - ab - bc + bc + ac$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (-bc + bc) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Левая часть равна правой части ($0 = 0$).
Ответ: тождество $a(b - c) - b(a + c) + c(b + a) = 0$ является верным.

г) Раскроем скобки в левой части выражения и приведем подобные слагаемые:
$a(b + c) - b(a + c) - c(a - b) = ab + ac - (ba + bc) - (ca - cb) = ab + ac - ab - bc - ac + bc$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(ab - ab) + (ac - ac) + (-bc + bc) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Левая часть равна правой части ($0 = 0$).
Ответ: тождество $a(b + c) - b(a + c) - c(a - b) = 0$ является верным.

д) Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Левая часть равна правой части ($x^2 - 1 = x^2 - 1$).
Ответ: тождество $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ является верным.

е) Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $(m-n)(m+n)=m^2-n^2$:
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Левая часть равна правой части ($x^2 - 4 = x^2 - 4$).
Ответ: тождество $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$ является верным.

167. Докажите тождество:

а) $ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1; $

$ (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

б) $ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1; $

$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

в) $ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1; $

$ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - x^2 + x^2 - x + \ldots \ldots \ldots \ldots $

$ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots $

г) $ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1. $

а) Для доказательства тождества $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ преобразуем его левую часть. Квадрат выражения равен произведению этого выражения на само себя. Раскроем скобки, как предложено в условии, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1 = x^2 + x + x + 1$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (x + x) + 1 = x^2 + 2x + 1$.

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: $(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1$.

б) Для доказательства тождества $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки по правилу умножения многочленов:

$(x - 1)^2 = (x - 1)(x - 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) - 1 \cdot x + (-1) \cdot (-1) = x^2 - x - x + 1$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-x - x) + 1 = x^2 - 2x + 1$.

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(x - 1)^2 = (x - 1)(x - 1) = x^2 - x - x + 1 = x^2 - 2x + 1$.

в) Для доказательства тождества $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$ преобразуем его левую часть, раскрыв скобки, как показано в условии:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 1 = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^2 - x^2) + (x - x) - 1 = x^3 + 0 + 0 - 1 = x^3 - 1$.

Члены $x^2$ и $-x^2$, а также $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются. В результате преобразований левая часть стала равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1$.

г) Для доказательства тождества $(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$ преобразуем его левую часть путем раскрытия скобок:

$(x + 1)(x^2 - x + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot (-x) + x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot (-x) + 1 \cdot 1 = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2 + x^2) + (x - x) + 1 = x^3 + 0 + 0 + 1 = x^3 + 1$.

Члены $-x^2$ и $x^2$, а также $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются. Левая часть стала равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1$.

331. Найдите НОД (A; B), где $A = x^3 - 4x^2 + x + 6$, $B = x^2 - x - 2$.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) многочленов $A = x^3 - 4x^2 + x + 6$ и $B = x^2 - x - 2$ можно разложить их на множители и найти общие множители.

1. Разложение многочлена B на множители.

Многочлен $B = x^2 - x - 2$ является квадратным трёхчленом. Чтобы разложить его на множители, найдём его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, многочлен $B$ можно разложить на линейные множители:
$B = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 2)(x + 1)$.

2. Проверка корней B для многочлена A.

Если многочлены $A$ и $B$ имеют общий делитель, то корни этого делителя должны быть корнями обоих многочленов. Проверим, являются ли корни $B$ (числа 2 и -1) корнями многочлена $A$.
Подставим $x = 2$ в выражение для $A$:
$A(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 2 + 6 = 8 - 4 \cdot 4 + 2 + 6 = 8 - 16 + 8 = 0$.
Поскольку $A(2) = 0$, то $(x - 2)$ является множителем многочлена $A$.

Подставим $x = -1$ в выражение для $A$:
$A(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$.
Поскольку $A(-1) = 0$, то $(x + 1)$ также является множителем многочлена $A$.

3. Нахождение НОД.

Мы установили, что $(x - 2)$ и $(x + 1)$ являются множителями как многочлена $A$, так и многочлена $B$. Следовательно, их произведение, $(x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 = B$, также является множителем $A$.
Это означает, что многочлен $A$ делится на многочлен $B$ без остатка.
По определению, наибольший общий делитель двух многочленов, один из которых делится на другой, равен делителю. В данном случае НОД($A, B$) = $B$.

Ответ: $x^2 - x - 2$.

332. Найдите все целые значения n, при каждом из которых значение дроби является целым числом:

а) $\frac{3n + 4}{n}$;

$\frac{3n + 4}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{4}{n} = 3 + \frac{4}{n}$ — целое число, если n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

а) Чтобы дробь $\frac{3n + 4}{n}$ была целым числом, необходимо выделить из нее целую часть.
$\frac{3n + 4}{n} = \frac{3n}{n} + \frac{4}{n} = 3 + \frac{4}{n}$
Выражение $3 + \frac{4}{n}$ является целым числом, если дробь $\frac{4}{n}$ является целым числом. Это возможно, если знаменатель $n$ является делителем числителя 4.
Целые делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Следовательно, $n$ может принимать значения: -4, -2, -1, 1, 2, 4.
Ответ: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

б) Преобразуем дробь $\frac{3n + 5}{n + 1}$, выделив целую часть. Для этого представим числитель через знаменатель:
$\frac{3n + 5}{n + 1} = \frac{3n + 3 + 2}{n + 1} = \frac{3(n + 1) + 2}{n + 1} = \frac{3(n + 1)}{n + 1} + \frac{2}{n + 1} = 3 + \frac{2}{n + 1}$
Дробь будет целым числом, если выражение $\frac{2}{n + 1}$ будет целым. Это произойдет, если знаменатель $n + 1$ является делителем числителя 2.
Целые делители числа 2: $\pm1, \pm2$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 1 = 1 \implies n = 0$
2) $n + 1 = -1 \implies n = -2$
3) $n + 1 = 2 \implies n = 1$
4) $n + 1 = -2 \implies n = -3$
Ответ: -3, -2, 0, 1.

в) Выделим целую часть из дроби $\frac{2n - 7}{n - 1}$:
$\frac{2n - 7}{n - 1} = \frac{2n - 2 - 5}{n - 1} = \frac{2(n - 1) - 5}{n - 1} = \frac{2(n - 1)}{n - 1} - \frac{5}{n - 1} = 2 - \frac{5}{n - 1}$
Выражение будет целым, если $\frac{5}{n - 1}$ будет целым числом. Значит, $n - 1$ должен быть делителем числа 5.
Целые делители числа 5: $\pm1, \pm5$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n - 1 = 1 \implies n = 2$
2) $n - 1 = -1 \implies n = 0$
3) $n - 1 = 5 \implies n = 6$
4) $n - 1 = -5 \implies n = -4$
Ответ: -4, 0, 2, 6.

г) Выделим целую часть из дроби $\frac{5n - 3}{n + 2}$:
$\frac{5n - 3}{n + 2} = \frac{5n + 10 - 13}{n + 2} = \frac{5(n + 2) - 13}{n + 2} = \frac{5(n + 2)}{n + 2} - \frac{13}{n + 2} = 5 - \frac{13}{n + 2}$
Выражение будет целым, если $\frac{13}{n + 2}$ будет целым числом. Значит, $n + 2$ должен быть делителем числа 13.
Целые делители числа 13: $\pm1, \pm13$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 2 = 1 \implies n = -1$
2) $n + 2 = -1 \implies n = -3$
3) $n + 2 = 13 \implies n = 11$
4) $n + 2 = -13 \implies n = -15$
Ответ: -15, -3, -1, 11.

д) Выделим целую часть из дроби $\frac{n^2 - 4n - 2}{n + 1}$ с помощью деления многочлена на многочлен (уголком) или преобразования:
$\frac{n^2 - 4n - 2}{n + 1} = \frac{n^2 + n - 5n - 5 + 3}{n + 1} = \frac{n(n + 1) - 5(n + 1) + 3}{n + 1} = \frac{(n - 5)(n + 1) + 3}{n + 1} = n - 5 + \frac{3}{n + 1}$
Поскольку $n$ — целое число, то $n - 5$ также является целым. Значит, для целочисленности всего выражения необходимо, чтобы дробь $\frac{3}{n + 1}$ была целым числом. Это возможно, если $n + 1$ является делителем числа 3.
Целые делители числа 3: $\pm1, \pm3$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 1 = 1 \implies n = 0$
2) $n + 1 = -1 \implies n = -2$
3) $n + 1 = 3 \implies n = 2$
4) $n + 1 = -3 \implies n = -4$
Ответ: -4, -2, 0, 2.

е) Выделим целую часть из дроби $\frac{n^2 + 5n + 1}{n + 2}$:
$\frac{n^2 + 5n + 1}{n + 2} = \frac{n^2 + 2n + 3n + 6 - 5}{n + 2} = \frac{n(n + 2) + 3(n + 2) - 5}{n + 2} = \frac{(n + 3)(n + 2) - 5}{n + 2} = n + 3 - \frac{5}{n + 2}$
Поскольку $n$ — целое число, то $n + 3$ также является целым. Следовательно, выражение будет целым, если дробь $\frac{5}{n + 2}$ будет целым числом. Это возможно, если $n + 2$ является делителем числа 5.
Целые делители числа 5: $\pm1, \pm5$.
Рассмотрим все случаи:
1) $n + 2 = 1 \implies n = -1$
2) $n + 2 = -1 \implies n = -3$
3) $n + 2 = 5 \implies n = 3$
4) $n + 2 = -5 \implies n = -7$
Ответ: -7, -3, -1, 3.