Страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

155. Разложите на множители многочлен:

а) $6m - 6n = \dots$

б) $15m - 10n = \dots$

в) $3m^2 - 3m = \dots$

г) $2n^2 - 6n = \dots$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $6m - 6n$, необходимо найти общий множитель для каждого одночлена. В данном случае оба члена, $6m$ и $6n$, имеют общий числовой коэффициент 6. Вынесем этот общий множитель за скобки. Для этого разделим каждый член многочлена на 6:
$6m \div 6 = m$
$-6n \div 6 = -n$
В результате получаем:
$6m - 6n = 6(m - n)$
Ответ: $6(m - n)$

б) В многочлене $15m - 10n$ нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 15 и 10.
Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10.
Наибольший общий делитель – это 5. Общих переменных у одночленов нет. Вынесем 5 за скобки.
$15m \div 5 = 3m$
$-10n \div 5 = -2n$
Следовательно:
$15m - 10n = 5(3m - 2n)$
Ответ: $5(3m - 2n)$

в) Рассмотрим многочлен $3m^2 - 3m$. Общий числовой множитель для обоих членов – 3. Оба члена также содержат переменную $m$. Чтобы вынести переменную за скобки, нужно выбрать ее в наименьшей степени, в которой она встречается в многочлене. В данном случае это $m^1$ или просто $m$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $3m$.
Разделим каждый член на $3m$:
$3m^2 \div (3m) = m$
$-3m \div (3m) = -1$
В результате разложения получаем:
$3m^2 - 3m = 3m(m - 1)$
Ответ: $3m(m - 1)$

г) Для многочлена $2n^2 - 6n$ найдем общие множители. Для коэффициентов 2 и 6 наибольший общий делитель равен 2. Оба члена содержат переменную $n$ в степенях 2 и 1. Выносим за скобки переменную в наименьшей степени, то есть $n^1$ или $n$. Таким образом, общий множитель, выносимый за скобки, равен $2n$.
Разделим каждый член на $2n$:
$2n^2 \div (2n) = n$
$-6n \div (2n) = -3$
Следовательно, разложение на множители выглядит так:
$2n^2 - 6n = 2n(n - 3)$
Ответ: $2n(n - 3)$

156. Запишите выражение в виде произведения многочленов:

а) $3x - 3y + ax - ay = \dots$

б) $15x + 3y + 5mx + my = \dots$

в) $x^2 - x + 2x - 2 = \dots$

г) $x^2 + x - 4x - 4 = \dots$

д) $4x^2 - x - 4x + 1 = \dots$

а) $3x - 3y + ax - ay$

Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(3x - 3y) + (ax - ay)$

Из первой скобки вынесем общий множитель 3, а из второй — общий множитель $a$:

$3(x - y) + a(x - y)$

Теперь у обоих слагаемых появился общий множитель — скобка $(x - y)$. Вынесем ее:

$(3 + a)(x - y)$

Ответ: $(3 + a)(x - y)$

б) $15x + 3y + 5mx + my$

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(15x + 5mx) + (3y + my)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $5x$, а из второй — общий множитель $y$:

$5x(3 + m) + y(3 + m)$

Общий множитель для получившихся слагаемых — это выражение в скобках $(3 + m)$. Вынесем его за скобки:

$(5x + y)(3 + m)$

Ответ: $(3 + m)(5x + y)$

в) $x^2 - x + 2x - 2$

Сгруппируем попарно слагаемые: первые два и последние два.

$(x^2 - x) + (2x - 2)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $x$, а из второй — 2:

$x(x - 1) + 2(x - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x + 2)(x - 1)$

Ответ: $(x + 2)(x - 1)$

г) $x^2 + x - 4x - 4$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(x^2 + x) + (-4x - 4)$

Из первой группы вынесем за скобки $x$, а из второй — -4. Обратите внимание, что при вынесении отрицательного множителя знаки в скобках меняются на противоположные.

$x(x + 1) - 4(x + 1)$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x - 4)(x + 1)$

Ответ: $(x - 4)(x + 1)$

д) $4x^2 - x - 4x + 1$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(4x^2 - x) + (-4x + 1)$

Из первой группы вынесем за скобки $x$, а из второй — -1, чтобы получить одинаковые выражения в скобках:

$x(4x - 1) - 1(4x - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(4x - 1)$:

$(x - 1)(4x - 1)$

Ответ: $(x - 1)(4x - 1)$

157*. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2 + 2x - 3 = $........................

..................

б) $x^2 + 3x - 4 = $........................

..................

в) $x^2 - 4x + 5 = $........................

..................

г) $x^2 - 3x + 2 = $........................

..................

а) $x^2 + 2x - 3$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения, то разложение на множители будет иметь вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Коэффициенты в этом уравнении: $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Подставим найденные корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 + 2x - 3 = 1 \cdot (x - (-3))(x - 1) = (x + 3)(x - 1)$.

Ответ: $(x + 3)(x - 1)$.

б) $x^2 + 3x - 4$

Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$, чтобы найти его корни.

Коэффициенты: $a=1$, $b=3$, $c=-4$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Выполним разложение на множители:

$x^2 + 3x - 4 = 1 \cdot (x - (-4))(x - 1) = (x + 4)(x - 1)$.

Ответ: $(x + 4)(x - 1)$.

в) $x^2 - 4x + 5$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-4$, $c=5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, у данного квадратного уравнения нет действительных корней. Следовательно, этот многочлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Также это можно увидеть, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.

Полученное выражение представляет собой сумму положительного слагаемого $(x-2)^2$ и 1, поэтому оно всегда больше нуля и не может быть разложено на множители в поле действительных чисел.

Ответ: многочлен нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами.

г) $x^2 - 3x + 2$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=2$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-3) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Выполним разложение на множители:

$x^2 - 3x + 2 = 1 \cdot (x - 1)(x - 2) = (x - 1)(x - 2)$.

Ответ: $(x - 1)(x - 2)$.

325*. Докажите, что уравнение $x + 2S(x) = 2018$ не имеет корней.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений, методом от противного. Предположим, что целочисленное решение $x$ существует. Обозначим через $S(x)$ сумму цифр числа $x$.

Воспользуемся известным свойством делимости: любое целое число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3. Это свойство можно записать в виде сравнения по модулю 3: $$x \equiv S(x) \pmod{3}$$

Рассмотрим исходное уравнение $x + 2S(x) = 2018$ по модулю 3.

Сначала преобразуем левую часть уравнения. Используя свойство $x \equiv S(x) \pmod{3}$, получаем: $$x + 2S(x) \equiv S(x) + 2S(x) \pmod{3}$$ Складывая слагаемые, имеем: $$S(x) + 2S(x) = 3S(x)$$ Поскольку $S(x)$ — целое число, произведение $3S(x)$ делится на 3 нацело. Следовательно, остаток от деления левой части уравнения на 3 равен 0: $$x + 2S(x) \equiv 0 \pmod{3}$$

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Найдем остаток от деления числа 2018 на 3. Для этого сложим его цифры: $2+0+1+8=11$. Число 11 при делении на 3 дает остаток 2, так как $11 = 3 \cdot 3 + 2$. Таким образом: $$2018 \equiv 2 \pmod{3}$$

Теперь, приравнивая остатки левой и правой частей уравнения по модулю 3, мы получаем: $$0 \equiv 2 \pmod{3}$$

Данное утверждение является ложным, так как 0 и 2 дают разные остатки при делении на 3. Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о существовании целочисленного решения было неверным.

Ответ: Уравнение $x + 2S(x) = 2018$ не имеет корней.

326*. Докажите признак делимости натурального числа на 11: если разность суммы цифр числа, стоящих на нечётных местах в десятичной записи натурального числа, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11, то данное число делится на 11.

Например, число 171 809 делится на 11, так как $(7 + 8 + 9) - (1 + 1 + 0) = 22$ делится на 11.

Доказательство. Проведём доказательство для шестизначного числа:

$$\overline{abcdef} = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f = \\ = 100001a - a + 9999b + b + 1001c - c + 99d + d + 11e - e + f.$$

Доказательство.

Докажем сначала утверждение для шестизначного числа, как предложено в задаче, а затем обобщим его для любого натурального числа.

Пусть дано шестизначное число $\overline{abcdef}$. Его можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:
$\overline{abcdef} = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f$

Преобразуем каждый коэффициент при цифрах так, чтобы выделить слагаемое, кратное 11. Для этого воспользуемся тем, что числа вида $99, 9999, ...$ (чётное количество девяток) и $1001, 100001, ...$ (единицы по краям, а между ними чётное количество нулей) делятся на 11.
$100000 = 100001 - 1$
$10000 = 9999 + 1$
$1000 = 1001 - 1$
$100 = 99 + 1$
$10 = 11 - 1$

Подставим эти представления в исходное выражение:
$\overline{abcdef} = (100001 - 1)a + (9999 + 1)b + (1001 - 1)c + (99 + 1)d + (11 - 1)e + f$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$\overline{abcdef} = 100001a - a + 9999b + b + 1001c - c + 99d + d + 11e - e + f$
$\overline{abcdef} = (100001a + 9999b + 1001c + 99d + 11e) + (-a + b - c + d - e + f)$

Выражение в первой скобке делится на 11, так как каждое слагаемое в нём кратно 11. Следовательно, делимость всего числа $\overline{abcdef}$ на 11 зависит только от делимости на 11 второго выражения:
$(-a + b - c + d - e + f) = (b + d + f) - (a + c + e)$

В десятичной записи числа $\overline{abcdef}$ цифры $a, c, e$ стоят на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м, если считать слева), а цифры $b, d, f$ — на чётных (2-м, 4-м, 6-м). Таким образом, мы получили разность между суммой цифр на чётных местах и суммой цифр на нечётных местах. Если эта разность делится на 11, то и исходное число делится на 11. Так как если число $X$ делится на 11, то и число $-X$ делится на 11, то не имеет значения, из какой суммы вычитать другую. Следовательно, признак доказан для шестизначного числа.

Общее доказательство.

Любое натуральное число $N$ можно записать в десятичной системе счисления в виде:
$N = a_k 10^k + a_{k-1} 10^{k-1} + \dots + a_1 10^1 + a_0 10^0$
где $a_0, a_1, \dots, a_k$ — это цифры числа ( $a_0$ — цифра разряда единиц, $a_1$ — десятков и т.д.).

Рассмотрим остатки от деления степеней числа 10 на 11. Этот метод известен как сравнение по модулю.
$10 \equiv -1 \pmod{11}$
$10^2 = 100 = 9 \cdot 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$
$10^3 = 10^2 \cdot 10 \equiv 1 \cdot (-1) \equiv -1 \pmod{11}$
В общем виде, для любого натурального показателя $n$: $10^n \equiv (-1)^n \pmod{11}$.

Используя это свойство, запишем сравнение для числа $N$ по модулю 11:
$N \equiv a_k (-1)^k + a_{k-1} (-1)^{k-1} + \dots + a_1 (-1)^1 + a_0 (-1)^0 \pmod{11}$
$N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + (-1)^k a_k \pmod{11}$

Сгруппируем слагаемые с положительными и отрицательными знаками:
$N \equiv (a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots) \pmod{11}$

Цифры $a_0, a_2, a_4, \dots$ стоят на нечётных местах, если считать справа (1-е, 3-е, 5-е место и т.д.).
Цифры $a_1, a_3, a_5, \dots$ стоят на чётных местах, если считать справа (2-е, 4-е, 6-е место и т.д.).

Таким образом, число $N$ делится на 11 (то есть $N \equiv 0 \pmod{11}$) тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Ответ: Доказательство основано на свойстве степеней числа 10: $10^n$ даёт остаток 1 при делении на 11 для чётных $n$ и остаток -1 для нечётных $n$. Это позволяет представить любое число в виде суммы двух слагаемых: одно из них является группой членов, кратных 11, а другое — знакопеременной суммой его цифр. Делимость числа на 11 полностью определяется делимостью этой знакопеременной суммы, которая и представляет собой разность между суммой цифр на нечётных местах и суммой цифр на чётных местах, что и требовалось доказать.

327* Докажите, что число 987 654 321 123 456 789 делится на 11.

Для доказательства того, что число 987 654 321 123 456 789 делится на 11, необходимо применить признак делимости на 11.

Признак делимости на 11 утверждает, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа налево), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11 (то есть равна 0 или кратна 11).

Рассмотрим число 987 654 321 123 456 789.

1. Найдем сумму цифр, стоящих на нечётных позициях (1-я, 3-я, 5-я и т.д. справа):
Цифры: 9, 7, 5, 3, 1, 2, 4, 6, 8.
$S_{нечет} = 9 + 7 + 5 + 3 + 1 + 2 + 4 + 6 + 8 = 45$.

2. Найдем сумму цифр, стоящих на чётных позициях (2-я, 4-я, 6-я и т.д. справа):
Цифры: 8, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 9.
$S_{чет} = 8 + 6 + 4 + 2 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 45$.

3. Вычислим разность этих сумм:
$S_{нечет} - S_{чет} = 45 - 45 = 0$.

Так как полученная разность равна 0, а 0 делится на 11 ($0 \div 11 = 0$), то исходное число делится на 11, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на признаке делимости на 11. Сумма цифр на нечётных позициях равна 45. Сумма цифр на чётных позициях также равна 45. Их разность составляет $45 - 45 = 0$. Поскольку 0 делится на 11, число 987 654 321 123 456 789 делится на 11.

328*. Докажите, что число $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017}$ делится на 3.

Для того чтобы доказать, что число $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017}$ делится на 3, можно воспользоваться свойствами сравнений по модулю. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда его остаток от деления на 3 равен 0. Докажем, что данное выражение сравнимо с 0 по модулю 3.

Для этого последовательно найдем остатки от деления на 3 для каждого компонента выражения.

1. Остатки для коэффициентов 2017 и 2018.

Для нахождения остатка от деления числа на 3 можно использовать сумму его цифр. Число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3.

• Для числа 2017: сумма цифр равна $2+0+1+7=10$. При делении 10 на 3 получаем в остатке 1. Следовательно, $2017 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Для числа 2018: сумма цифр равна $2+0+1+8=11$. При делении 11 на 3 получаем в остатке 2. Следовательно, $2018 \equiv 2 \pmod{3}$.

2. Остаток для основания степени 10.

При делении 10 на 3 в остатке получаем 1. Следовательно, $10 \equiv 1 \pmod{3}$.

3. Остатки для степеней числа 10.

Используя свойство сравнений $(a \equiv b \pmod{m} \implies a^n \equiv b^n \pmod{m})$, получаем:

$10^{2018} \equiv 1^{2018} \equiv 1 \pmod{3}$

$10^{2017} \equiv 1^{2017} \equiv 1 \pmod{3}$

4. Вычисление остатка для всего выражения.

Теперь подставим найденные остатки в исходное выражение:

$2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017} \equiv (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1) \pmod{3}$

Выполним вычисления:

$1 + 2 = 3$

Так как $3$ делится на $3$ без остатка, то $3 \equiv 0 \pmod{3}$.

Таким образом, мы показали, что $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017} \equiv 0 \pmod{3}$. Это означает, что остаток от деления исходного числа на 3 равен 0, следовательно, число делится на 3.

Ответ: Доказано, что число $2017 \cdot 10^{2018} + 2018 \cdot 10^{2017}$ делится на 3.