Страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

135. Укажите номер свойства многочленов, из которого следует справедливость равенства:

а) $ab + c = c + ab$ ....

б) $a^2 - b + 0 = a^2 - b$ ; ....

в) $2a - 3b + b = 2a - 2b$ ....

г) $2a^2 + b^2 - b^2 = 2a^2$ ....

а) Равенство $ab + c = c + ab$ является примером применения переместительного (коммутативного) свойства сложения. Это свойство гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В данном случае слагаемые $ab$ и $c$, которые являются одночленами, поменяли местами.
Ответ: переместительное (коммутативное) свойство сложения.

б) Равенство $a^2 - b + 0 = a^2 - b$ иллюстрирует свойство нуля при сложении (свойство аддитивного нейтрального элемента). Прибавление нуля к любому многочлену не изменяет этот многочлен.
Ответ: свойство нуля при сложении.

в) Равенство $2a - 3b + b = 2a - 2b$ следует из правила приведения подобных слагаемых. Подобные слагаемые — это одночлены с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $-3b$ и $b$. Чтобы их сложить, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть: $(-3 + 1)b = -2b$. Таким образом, $2a - 3b + b = 2a + (-3b + b) = 2a + (-2b) = 2a - 2b$. Это правило основано на распределительном (дистрибутивном) свойстве умножения относительно сложения.
Ответ: приведение подобных слагаемых.

г) Равенство $2a^2 + b^2 - b^2 = 2a^2$ является результатом сокращения противоположных слагаемых. Слагаемые $b^2$ и $-b^2$ являются противоположными, так как их сумма равна нулю: $b^2 + (-b^2) = 0$. После их взаимного уничтожения (сокращения) остается $2a^2 + 0 = 2a^2$. Это свойство основано на существовании противоположного элемента (аддитивного обратного).
Ответ: сокращение противоположных слагаемых.

136. Запишите многочлен в стандартном виде:

а) $5b + 2a + b - a = \dots$

б) $2ab + 3a - ab + a = \dots$

в) $3ab^3 + 2a^2b - 2ab^3 + a^2b = \dots$

г) $0.5x - 2y - 2x + 0.3x = \dots$

д) $5x^3 - 7y^2 - 5x^3 + 8x^2 = \dots$

е) $2.1x - 1.2y - 2.1x + 1.2y = \dots$

а) Чтобы записать многочлен в стандартном виде, нужно привести подобные члены, то есть сложить или вычесть одночлены с одинаковой буквенной частью. В выражении $5b + 2a + b - a$ подобными являются члены $2a$ и $-a$, а также $5b$ и $b$.

Сгруппируем и сложим их:

$(2a - a) + (5b + b) = a + 6b$

Обычно члены многочлена располагают в алфавитном порядке переменных.

Ответ: $a + 6b$

б) В выражении $2ab + 3a - ab + a$ найдем подобные члены. Это $3a$ и $a$, а также $2ab$ и $-ab$.

Сгруппируем и выполним действия:

$(3a + a) + (2ab - ab) = 4a + ab$

Ответ: $4a + ab$

в) В многочлене $3ab^3 + 2a^2b - 2ab^3 + a^2b$ подобными являются члены с одинаковой буквенной частью и показателями степеней. Это $2a^2b$ и $a^2b$, а также $3ab^3$ и $-2ab^3$.

Сгруппируем и приведем подобные:

$(2a^2b + a^2b) + (3ab^3 - 2ab^3) = 3a^2b + ab^3$

Члены многочлена записаны в порядке убывания степени переменной $a$.

Ответ: $3a^2b + ab^3$

г) В выражении $0,5x - 2y - 2x + 0,3x$ подобными являются члены, содержащие переменную $x$: $0,5x$, $-2x$ и $0,3x$. Член $-2y$ подобных не имеет.

Сложим коэффициенты при $x$:

$(0,5 - 2 + 0,3)x - 2y = (0,8 - 2)x - 2y = -1,2x - 2y$

Ответ: $-1,2x - 2y$

д) В многочлене $5x^3 - 7y^2 - 5x^3 + 8x^2$ подобными являются члены $5x^3$ и $-5x^3$.

Их сумма равна нулю:

$5x^3 - 5x^3 = 0$

Остальные члены, $8x^2$ и $-7y^2$, не являются подобными. Запишем их, чтобы получить многочлен стандартного вида.

$8x^2 - 7y^2$

Ответ: $8x^2 - 7y^2$

е) В выражении $2,1x - 1,2y - 2,1x + 1,2y$ есть две пары подобных членов: $2,1x$ и $-2,1x$, а также $-1,2y$ и $1,2y$.

Сгруппируем их и выполним действия:

$(2,1x - 2,1x) + (-1,2y + 1,2y) = 0 + 0 = 0$

Все члены многочлена взаимно уничтожились.

Ответ: $0$

137. Запишите многочлен в стандартном виде:

а) $3a + 3b - a = \dots$

б) $12b^2 - 7a + b^2 + a = \dots$

в) $x^2 - x + y^2 + x = \dots$

г) $4x^2 + 2x - 3 - x = \dots$

д) $x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x - 1 = \dots$

е) $x^2 + 3x^3 - 4x^2 + 5x^3 = \dots$

а) Чтобы записать многочлен в стандартном виде, нужно привести подобные члены. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В выражении $3a + 3b - a$ подобными являются $3a$ и $-a$. Сгруппируем и сложим их:
$3a + 3b - a = (3a - a) + 3b = (3 - 1)a + 3b = 2a + 3b$.
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $2a + 3b$.

б) В выражении $12b^2 - 7a + b^2 + a$ есть две пары подобных членов: $12b^2$ и $b^2$, а также $-7a$ и $a$. Приведем их:
$12b^2 - 7a + b^2 + a = (12b^2 + b^2) + (-7a + a) = (12 + 1)b^2 + (-7 + 1)a = 13b^2 - 6a$.
Для стандартного вида принято записывать члены в порядке убывания их степеней, а при равных степенях - в алфавитном порядке, но в данном случае оба варианта ($13b^2 - 6a$ или $-6a + 13b^2$) являются верными.
Ответ: $13b^2 - 6a$.

в) В многочлене $x^2 - x + y^2 + x$ подобными членами являются $-x$ и $x$. Их сумма равна нулю: $-x + x = 0$.
$x^2 - x + y^2 + x = x^2 + y^2 + (-x + x) = x^2 + y^2 + 0 = x^2 + y^2$.
Многочлен в стандартном виде, члены расположены в алфавитном порядке.
Ответ: $x^2 + y^2$.

г) В выражении $4x^2 + 2x - 3 - x$ подобными членами являются $2x$ и $-x$. Выполним их сложение:
$4x^2 + 2x - 3 - x = 4x^2 + (2x - x) - 3 = 4x^2 + (2 - 1)x - 3 = 4x^2 + x - 3$.
Члены многочлена записаны в порядке убывания степеней переменной $x$.
Ответ: $4x^2 + x - 3$.

д) В многочлене $x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x - 1$ сгруппируем подобные члены:
$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (1 - 1)$.
Сумма каждой пары подобных членов равна нулю:
$x^2 - x^2 = 0$
$-3x + 3x = 0$
$1 - 1 = 0$
Таким образом, весь многочлен равен $0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

е) В выражении $x^2 + 3x^3 - 4x^2 + 5x^3$ сгруппируем подобные члены с $x^3$ и с $x^2$ и запишем их в порядке убывания степеней:
$(3x^3 + 5x^3) + (x^2 - 4x^2) = (3 + 5)x^3 + (1 - 4)x^2 = 8x^3 - 3x^2$.
Это и есть стандартный вид многочлена.
Ответ: $8x^3 - 3x^2$.

311. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} x + y - z = 0, \\ x - y + z = 2, \\ -x + y + z = 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y + z = 1, \\ x + 2y + z = 4, \\ 3x + 2y + z = 8. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y - z = 0, & (1) \\ x - y + z = 2, & (2) \\ -x + y + z = 4; & (3) \end{cases} $

Для решения системы будем использовать метод сложения. Сложим попарно уравнения, чтобы исключить переменные.

Сложим уравнение (1) и уравнение (2):

$(x + y - z) + (x - y + z) = 0 + 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Сложим уравнение (1) и уравнение (3):

$(x + y - z) + (-x + y + z) = 0 + 4$

$2y = 4$

$y = 2$

Теперь, когда мы нашли $x$ и $y$, подставим их значения в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти $z$.

$1 + 2 - z = 0$

$3 - z = 0$

$z = 3$

Проверим полученное решение $(1; 2; 3)$, подставив его в исходную систему:

$ \begin{cases} 1 + 2 - 3 = 0 \\ 1 - 2 + 3 = 2 \\ -1 + 2 + 3 = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0 = 0 \\ 2 = 2 \\ 4 = 4 \end{cases} $

Все равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x=1, y=2, z=3$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 1, & (1) \\ x + 2y + z = 4, & (2) \\ 3x + 2y + z = 8. & (3) \end{cases} $

Для решения системы используем метод вычитания. Обратим внимание, что коэффициент при переменной $z$ во всех уравнениях равен 1, что упрощает исключение этой переменной.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(x + 2y + z) - (x + y + z) = 4 - 1$

$y = 3$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):

$(3x + 2y + z) - (x + 2y + z) = 8 - 4$

$2x = 4$

$x = 2$

Теперь подставим найденные значения $x=2$ и $y=3$ в уравнение (1), чтобы найти $z$.

$2 + 3 + z = 1$

$5 + z = 1$

$z = 1 - 5$

$z = -4$

Проверим полученное решение $(2; 3; -4)$, подставив его в исходную систему:

$ \begin{cases} 2 + 3 + (-4) = 1 \\ 2 + 2(3) + (-4) = 4 \\ 3(2) + 2(3) + (-4) = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 = 1 \\ 2 + 6 - 4 = 4 \\ 6 + 6 - 4 = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 = 1 \\ 4 = 4 \\ 8 = 8 \end{cases} $

Все равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x=2, y=3, z=-4$.

312. Старинная задача (Китай). В клетке было 35 фазанов и кроликов. Известно, что всего у них 94 ноги. Найдите число фазанов и число кроликов.

I способ. Представим, что в клетке сидят одни фазаны, тогда у них ног должно быть $2 \cdot 35 = 70$. Если одного фазана заменить на одного кролика, то число голов в клетке не изменится, а число ног увеличится на 2. Число ног в клетке надо увеличить на $94 - 70 = 24$. Следовательно, кроликов было $24 : 2 = 12$, тогда фазанов было $35 - 12 = 23$.

II способ. Пусть было $k$ кроликов, тогда фазанов было $35 - k$. У кроликов и фазанов вместе $4k + 2(35 - k)$ ног, что по условию задачи равно 94. Составим уравнение:

$4k + 2(35 - k) = 94$.

Решив это уравнение, получим $k = 12$. Следовательно, кроликов было 12, тогда фазанов было $35 - 12 = 23$.

III способ. Пусть было $f$ фазанов и $k$ кроликов. Составим два уравнения системы: $f + k = 35$ и $2f + 4k = 94$. Решим систему двух уравнений с неизвестными $f$ и $k$:

I способ.

Этот метод основан на логическом допущении. Представим, что все 35 животных в клетке — это фазаны. У каждого фазана по 2 ноги. В этом случае общее количество ног было бы: $35 \cdot 2 = 70$ ног.

Однако по условию задачи у животных 94 ноги. Найдем разницу между фактическим количеством ног и нашим предположением: $94 - 70 = 24$ ноги.

Эта разница в 24 ноги возникла из-за того, что некоторые из животных на самом деле кролики, а не фазаны. У кролика 4 ноги, а у фазана — 2. Когда мы мысленно заменяем одного фазана на одного кролика, общее число голов не меняется, а количество ног увеличивается на: $4 - 2 = 2$ ноги.

Чтобы найти количество кроликов, нужно общую "избыточную" разницу в ногах (24) разделить на разницу в ногах, которую дает одна замена (2): $24 : 2 = 12$ кроликов.

Теперь, зная число кроликов, можно найти число фазанов. Всего животных 35: $35 - 12 = 23$ фазана.

Ответ: В клетке было 23 фазана и 12 кроликов.

II способ.

Этот метод использует составление уравнения с одной переменной. Пусть $k$ — это количество кроликов. Поскольку всего животных 35, то количество фазанов будет равно $35 - k$.

Теперь составим уравнение, основываясь на общем количестве ног. У каждого кролика 4 ноги, а у каждого фазана — 2 ноги. Общее число ног равно 94. Сумма ног всех кроликов: $4k$. Сумма ног всех фазанов: $2(35 - k)$. Общее уравнение: $4k + 2(35 - k) = 94$.

Решим это уравнение, чтобы найти $k$:
$4k + 70 - 2k = 94$
$2k + 70 = 94$
$2k = 94 - 70$
$2k = 24$
$k = 12$.
Следовательно, в клетке было 12 кроликов.

Найдем количество фазанов: $35 - k = 35 - 12 = 23$ фазана.

Ответ: В клетке было 23 фазана и 12 кроликов.

III способ.

Этот метод заключается в решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Пусть $f$ — это количество фазанов, а $k$ — количество кроликов.

Составим первое уравнение, исходя из общего числа животных (голов): $f + k = 35$.

Составим второе уравнение, исходя из общего числа ног. У фазана 2 ноги, у кролика — 4: $2f + 4k = 94$.

Получили систему уравнений: $ \begin{cases} f + k = 35 \\ 2f + 4k = 94 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $f$: $f = 35 - k$. Подставим это выражение во второе уравнение: $2(35 - k) + 4k = 94$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$70 - 2k + 4k = 94$
$70 + 2k = 94$
$2k = 24$
$k = 12$.
Итак, в клетке 12 кроликов.

Подставим найденное значение $k = 12$ в выражение для $f$: $f = 35 - 12 = 23$.
Значит, в клетке 23 фазана.

Ответ: В клетке было 23 фазана и 12 кроликов.