Номер 311, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.8. Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 311, страница 50.

Условие.

311. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} x + y - z = 0, \\ x - y + z = 2, \\ -x + y + z = 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + y + z = 1, \\ x + 2y + z = 4, \\ 3x + 2y + z = 8. \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y - z = 0, & (1) \\ x - y + z = 2, & (2) \\ -x + y + z = 4; & (3) \end{cases} $

Для решения системы будем использовать метод сложения. Сложим попарно уравнения, чтобы исключить переменные.

Сложим уравнение (1) и уравнение (2):

$(x + y - z) + (x - y + z) = 0 + 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Сложим уравнение (1) и уравнение (3):

$(x + y - z) + (-x + y + z) = 0 + 4$

$2y = 4$

$y = 2$

Теперь, когда мы нашли $x$ и $y$, подставим их значения в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти $z$.

$1 + 2 - z = 0$

$3 - z = 0$

$z = 3$

Проверим полученное решение $(1; 2; 3)$, подставив его в исходную систему:

$ \begin{cases} 1 + 2 - 3 = 0 \\ 1 - 2 + 3 = 2 \\ -1 + 2 + 3 = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0 = 0 \\ 2 = 2 \\ 4 = 4 \end{cases} $

Все равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x=1, y=2, z=3$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + z = 1, & (1) \\ x + 2y + z = 4, & (2) \\ 3x + 2y + z = 8. & (3) \end{cases} $

Для решения системы используем метод вычитания. Обратим внимание, что коэффициент при переменной $z$ во всех уравнениях равен 1, что упрощает исключение этой переменной.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(x + 2y + z) - (x + y + z) = 4 - 1$

$y = 3$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):

$(3x + 2y + z) - (x + 2y + z) = 8 - 4$

$2x = 4$

$x = 2$

Теперь подставим найденные значения $x=2$ и $y=3$ в уравнение (1), чтобы найти $z$.

$2 + 3 + z = 1$

$5 + z = 1$

$z = 1 - 5$

$z = -4$

Проверим полученное решение $(2; 3; -4)$, подставив его в исходную систему:

$ \begin{cases} 2 + 3 + (-4) = 1 \\ 2 + 2(3) + (-4) = 4 \\ 3(2) + 2(3) + (-4) = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 = 1 \\ 2 + 6 - 4 = 4 \\ 6 + 6 - 4 = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1 = 1 \\ 4 = 4 \\ 8 = 8 \end{cases} $

Все равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x=2, y=3, z=-4$.