Номер 306, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 306, страница 46.

Условие.

306. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} 1,1x + 0,2y + 1 = 0, \\ 11x + 2y + 10 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + 2,5y + 2 = 0, \\ 4x + 5y - 6 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2y + 3 = 0, \\ 4x + 5y + 6 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 2y - 8 = 0, \\ x + 2y + 8 = 0? \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} 1.1x + 0.2y + 1 = 0 \\ 11x + 2y + 10 = 0 \end{cases} $.
Для определения количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases} $ необходимо сравнить отношения их коэффициентов.
В данной системе коэффициенты равны: $a_1 = 1.1$, $b_1 = 0.2$, $c_1 = 1$ и $a_2 = 11$, $b_2 = 2$, $c_2 = 10$.
Вычислим отношения коэффициентов:
Отношение коэффициентов при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1.1}{11} = \frac{1}{10} $.
Отношение коэффициентов при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{0.2}{2} = \frac{1}{10} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{10} $.
Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $, уравнения в системе являются пропорциональными. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую на координатной плоскости. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: бесконечно много решений.

б) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} 2x + 2.5y + 2 = 0 \\ 4x + 5y - 6 = 0 \end{cases} $.
Применим метод сравнения коэффициентов. Коэффициенты уравнений: $a_1 = 2$, $b_1 = 2.5$, $c_1 = 2$ и $a_2 = 4$, $b_2 = 5$, $c_2 = -6$.
Найдем отношения коэффициентов:
Отношение при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.
Отношение при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2.5}{5} = \frac{1}{2} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} $.
В данном случае выполняется условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $. Это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, параллельны, но не совпадают. Следовательно, у системы нет решений.
Ответ: нет решений.

в) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x + 2y + 3 = 0 \\ 4x + 5y + 6 = 0 \end{cases} $.
Коэффициенты уравнений: $a_1 = 1$, $b_1 = 2$, $c_1 = 3$ и $a_2 = 4$, $b_2 = 5$, $c_2 = 6$.
Сравним отношения коэффициентов при переменных:
Отношение при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{4} $.
Отношение при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{5} $.
Так как $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($ \frac{1}{4} \neq \frac{2}{5} $), то прямые, описываемые уравнениями, пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет единственное решение.
Ответ: одно решение.

г) Рассматриваем систему уравнений: $ \begin{cases} x - 2y - 8 = 0 \\ x + 2y + 8 = 0 \end{cases} $.
Коэффициенты уравнений: $a_1 = 1$, $b_1 = -2$, $c_1 = -8$ и $a_2 = 1$, $b_2 = 2$, $c_2 = 8$.
Сравним отношения коэффициентов при переменных:
Отношение при $x$: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1 $.
Отношение при $y$: $ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{2} = -1 $.
Поскольку $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ ($1 \neq -1$), прямые пересекаются. Это означает, что система имеет ровно одно решение.
Ответ: одно решение.