Номер 302, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 302, страница 44.

Условие.

302. Равносильны ли системы уравнений:

a) $ \begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} -y - 14 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} -y = 14 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases} $

в) $ \begin{cases} y = -14 \\ -x - 28 + 2 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases} $ и $ \begin{cases} x = -26 \\ y = -14 \end{cases} $

д) $ \begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases} $ и $ \begin{cases} x = -26 \\ y = -14? \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность, можно либо найти решения каждой системы и сравнить их, либо показать, что одна система может быть получена из другой с помощью равносильных преобразований.

а) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases}$

Первые уравнения в обеих системах идентичны. Сравним вторые уравнения. Умножим второе уравнение первой системы на 3:

$3 \cdot (-x + 2y + 2) = 3 \cdot 0$

$-3x + 6y + 6 = 0$

Полученное уравнение совпадает со вторым уравнением второй системы. Так как одно из уравнений системы заменено на равносильное ему (умножение на ненулевое число 3 является равносильным преобразованием), а другое уравнение осталось без изменений, то системы равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.

б) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} -y - 14 = 0 \\ -3x + 6y + 6 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} -y = 14 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases}$

Преобразуем уравнения первой системы. Первое уравнение $-y - 14 = 0$ равносильно уравнению $-y = 14$ (перенос слагаемого). Это идентично первому уравнению второй системы.

Второе уравнение первой системы $-3x + 6y + 6 = 0$ можно разделить на 3 (равносильное преобразование):

$(-3x + 6y + 6) : 3 = 0 : 3$

$-x + 2y + 2 = 0$

Это уравнение идентично второму уравнению второй системы. Поскольку обе системы состоят из попарно равносильных уравнений, сами системы также равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.

в) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} y = -14 \\ -x - 28 + 2 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases}$

Первые уравнения в обеих системах идентичны: $y = -14$.

Упростим второе уравнение первой системы:

$-x - 28 + 2 = 0$

$-x - 26 = 0$

Перенесем слагаемое, чтобы получить $-x = 26$.

Полученное уравнение идентично второму уравнению второй системы. Следовательно, системы равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.

г) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} y = -14 \\ -x = 26 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x = -26 \\ y = -14 \end{cases}$

Найдем решение первой системы. Из первого уравнения $y = -14$. Из второго уравнения $-x = 26$ следует, что $x = -26$. Таким образом, решение первой системы — это пара $(-26; -14)$.

Вторая система явно задает свое решение: $x = -26$ и $y = -14$. Решение второй системы — это также пара $(-26; -14)$.

Так как множества решений обеих систем совпадают, системы равносильны. Порядок уравнений в системе не имеет значения.

Ответ: Да, системы равносильны.

д) Сравним две системы уравнений:

Система 1: $\begin{cases} 3x - 7y - 20 = 0 \\ -x + 2y + 2 = 0 \end{cases}$

Система 2: $\begin{cases} x = -26 \\ y = -14 \end{cases}$

Вторая система имеет единственное решение: $(x, y) = (-26, -14)$.

Проверим, является ли эта пара чисел решением первой системы. Для этого подставим значения $x = -26$ и $y = -14$ в каждое уравнение первой системы.

Проверка для первого уравнения $3x - 7y - 20 = 0$:

$3(-26) - 7(-14) - 20 = -78 + 98 - 20 = 20 - 20 = 0$.

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения $-x + 2y + 2 = 0$:

$-(-26) + 2(-14) + 2 = 26 - 28 + 2 = -2 + 2 = 0$.

$0 = 0$. Верно.

Поскольку пара чисел $(-26, -14)$ является решением первой системы, и первая система, как система линейных уравнений, имеет единственное решение, то множества решений обеих систем совпадают. Следовательно, системы равносильны.

Ответ: Да, системы равносильны.