Номер 308, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 308, страница 48.

Условие.

308*. Дана система уравнений

$\begin{cases} 3x - ay + 5 = 0, \\ 1,5x + y + 2,5 = 0. \end{cases}$

а) Укажите значение a, при котором данная система имеет бесконечно много решений.

....................

б) Укажите три значения a, при каждом из которых данная система имеет единственное решение.

....................

в) Существует ли значение a, при котором данная система не имеет решений? Почему?

Решение.

Решение 2.

Для анализа системы уравнений вида: $$ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $$ необходимо рассмотреть соотношения ее коэффициентов. В данной системе: $$ \begin{cases} 3x - ay + 5 = 0 \\ 1,5x + y + 2,5 = 0 \end{cases} $$ коэффициенты равны: $A_1 = 3$, $B_1 = -a$, $C_1 = 5$ и $A_2 = 1,5$, $B_2 = 1$, $C_2 = 2,5$.

Вычислим отношения коэффициентов: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{1,5} = 2 $$ $$ \frac{B_1}{B_2} = \frac{-a}{1} = -a $$ $$ \frac{C_1}{C_2} = \frac{5}{2,5} = 2 $$

а) Укажите значение а, при котором данная система имеет бесконечно много решений.

Система имеет бесконечно много решений, если ее уравнения эквивалентны, то есть все коэффициенты пропорциональны: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $$ Подставляя вычисленные значения, получаем: $$ 2 = -a = 2 $$ Из этого равенства следует, что $-a = 2$, откуда $a = -2$. При этом значении $a$ второе уравнение системы, умноженное на 2, полностью совпадает с первым, что означает, что система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: $a = -2$.

б) Укажите три значения а, при каждом из которых данная система имеет единственное решение.

Система имеет единственное решение, если прямые, описываемые уравнениями, пересекаются в одной точке. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных $x$ и $y$ не пропорциональны: $$ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $$ Подставляя наши значения, получаем неравенство: $$ 2 \neq -a $$ Это означает, что $a \neq -2$. Следовательно, система имеет единственное решение при любом значении $a$, кроме $a=-2$. Можно выбрать любые три таких значения.

Ответ: например, $a = 0$, $a = 1$, $a = 10$.

в) Существует ли значение а, при котором данная система не имеет решений? Почему?

Система не имеет решений, если прямые параллельны, но не совпадают. Это условие выполняется, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам: $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $$ Рассмотрим это условие для нашей системы.

Первая часть равенства $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$ дает нам $2 = -a$, то есть $a = -2$.

Вторая часть, неравенство $\frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, при $a = -2$ превращается в $2 \neq 2$. Это утверждение ложно.

Таким образом, невозможно найти такое значение $a$, при котором бы выполнялось условие отсутствия решений. Отношение коэффициентов при $x$ ($\frac{A_1}{A_2}=2$) всегда равно отношению свободных членов ($\frac{C_1}{C_2}=2$). Поэтому, как только отношение коэффициентов при $y$ становится равным им (при $a=-2$), система сразу получает бесконечное число решений, минуя случай отсутствия решений.

Ответ: нет, такого значения $a$ не существует. Потому что отношение коэффициентов при $x$ всегда равно отношению свободных членов ($\frac{3}{1,5} = \frac{5}{2,5} = 2$), что делает невозможным выполнение условия для отсутствия решений.