Номер 304, страница 45, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.6. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 304, страница 45.

Условие.

304. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $ \begin{cases} 7x + 8y - 11 = 0, \\ 7x + 8y + 11 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x + 2y - 1 = 0, \\ 2x + 4y - 2 = 0; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x - y - 2 = 0, \\ x + y - 8 = 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x + 2y + 1 = 0, \\ x + 2y + 3 = 0? \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 7x + 8y - 11 = 0 \\ 7x + 8y + 11 = 0 \end{cases}$

Чтобы определить количество решений, можно проанализировать коэффициенты уравнений вида $Ax + By + C = 0$.

Для первого уравнения: $A_1 = 7, B_1 = 8, C_1 = -11$.

Для второго уравнения: $A_2 = 7, B_2 = 8, C_2 = 11$.

Сравним отношения коэффициентов:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{7}{7} = 1$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{8}{8} = 1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{-11}{11} = -1$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, графики этих уравнений являются параллельными прямыми, которые не пересекаются. Следовательно, система не имеет общих точек, а значит и решений.

Другой способ — вычесть из первого уравнения второе:

$(7x + 8y - 11) - (7x + 8y + 11) = 0$

$7x + 8y - 11 - 7x - 8y - 11 = 0$

$-22 = 0$

Получено неверное равенство, которое не зависит от переменных $x$ и $y$. Это означает, что система несовместна.

Ответ: система не имеет решений.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ 2x + 4y - 2 = 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $2x + 4y - 2 = 0$. Разделим все его члены на 2:

$\frac{2x}{2} + \frac{4y}{2} - \frac{2}{2} = \frac{0}{2}$

$x + 2y - 1 = 0$

Полученное уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Любая точка, принадлежащая этой прямой, является решением системы. Поскольку на прямой лежит бесконечное множество точек, система имеет бесконечно много решений.

Анализ коэффициентов также подтверждает это:

$A_1 = 1, B_1 = 2, C_1 = -1$

$A_2 = 2, B_2 = 4, C_2 = -2$

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$, уравнения эквивалентны.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ x + y - 8 = 0 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов при переменных:

$A_1=1, B_1=-1$

$A_2=1, B_2=1$

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{1} = 1$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{-1}{1} = -1$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, графики уравнений — это прямые, которые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение. Найдем его, чтобы убедиться.

Воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y - 2) + (x + y - 8) = 0 + 0$

$2x - 10 = 0$

$2x = 10$

$x = 5$

Теперь подставим значение $x=5$ в первое уравнение:

$5 - y - 2 = 0$

$3 - y = 0$

$y = 3$

Система имеет единственное решение $(5, 3)$.

Ответ: система имеет одно решение.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x + 2y + 1 = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \end{cases}$

Сравним отношения коэффициентов при переменных:

$A_1=3, B_1=2$

$A_2=1, B_2=2$

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{3}{1} = 3$; $\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{2} = 1$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$, система имеет одно решение. Найдем его методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(3x + 2y + 1) - (x + 2y + 3) = 0$

$3x + 2y + 1 - x - 2y - 3 = 0$

$2x - 2 = 0$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ во второе уравнение:

$1 + 2y + 3 = 0$

$4 + 2y = 0$

$2y = -4$

$y = -2$

Система имеет единственное решение $(1, -2)$.

Ответ: система имеет одно решение.