Номер 303, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 303, страница 44.

Условие.

303. Составьте систему уравнений, равносильную данной:

а) $\begin{cases} 3x + 2y + 5 = 0 \\ 2x - 3y - 1 = 0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + 4 = 0 \\ x - 2y + 2 = 0 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y - 2x + 7 = 0 \\ x - y + 3y - 9 = 0 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 3x + 2y - 12 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 2y + 5 = 0 \\ 2x - 3y - 1 = 0 \end{cases} $$

Равносильные системы уравнений — это системы, имеющие одинаковое множество решений. Чтобы получить равносильную систему, можно выполнить над её уравнениями равносильные преобразования. Одним из таких преобразований является перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. В данном случае для каждого уравнения перенесем свободный член (константу) в правую часть.

Для первого уравнения $3x + 2y + 5 = 0$ переносим $5$ в правую часть:

$3x + 2y = -5$

Для второго уравнения $2x - 3y - 1 = 0$ переносим $-1$ в правую часть:

$2x - 3y = 1$

Полученная система, состоящая из преобразованных уравнений, равносильна исходной.

Ответ:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = -5 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases} $$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + 4 = 0 \\ x - 2y + 2 = 0 \end{cases} $$

Для составления равносильной системы перенесем свободные члены в правую часть каждого уравнения. Это является равносильным преобразованием, так как не меняет множество решений системы.

В первом уравнении $x + y + 4 = 0$ переносим $4$ в правую часть:

$x + y = -4$

Во втором уравнении $x - 2y + 2 = 0$ переносим $2$ в правую часть:

$x - 2y = -2$

Таким образом, мы составили равносильную систему.

Ответ:

$$ \begin{cases} x + y = -4 \\ x - 2y = -2 \end{cases} $$

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y - 2x + 7 = 0 \\ x - y + 3y - 9 = 0 \end{cases} $$

Вначале выполним равносильное преобразование — упростим каждое уравнение, приведя подобные слагаемые. Это не изменит множество решений системы.

Упростим первое уравнение: $x - y - 2x + 7 = 0$

$(1-2)x - y + 7 = 0$

$-x - y + 7 = 0$

Упростим второе уравнение: $x - y + 3y - 9 = 0$

$x + (-1+3)y - 9 = 0$

$x + 2y - 9 = 0$

Теперь мы имеем упрощенную систему, равносильную исходной:

$$ \begin{cases} -x - y + 7 = 0 \\ x + 2y - 9 = 0 \end{cases} $$

Далее, чтобы получить другую форму равносильной системы, перенесем свободные члены в правую часть. Для удобства также можно умножить первое уравнение на $-1$.

Из первого уравнения: $-x - y = -7$, что эквивалентно $x + y = 7$.

Из второго уравнения: $x + 2y = 9$.

Ответ:

$$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x + 2y = 9 \end{cases} $$

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x + 2y - 12 = 0 \\ x - y + 1 = 0 \end{cases} $$

Для того чтобы составить равносильную систему, выполним преобразование, которое не изменит множество ее решений. Перенесем свободные члены в правую часть каждого уравнения.

В первом уравнении $3x + 2y - 12 = 0$ переносим $-12$ в правую часть:

$3x + 2y = 12$

Во втором уравнении $x - y + 1 = 0$ переносим $1$ в правую часть:

$x - y = -1$

Полученная система является равносильной исходной.

Ответ:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = -1 \end{cases} $$