Номер 301, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.5. Равносильность уравнений и систем уравнений. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 301, страница 44.

Условие.

301. Равносильны ли системы уравнений:

а) $\begin{cases}2x + 5y - 11 = 0, \\x - 2y - 1 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}2x + 5y - 11 = 0 \\2x - 4y - 2 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x + y - 10 = 0, \\x - y - 2 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}y = -x + 5, \\x - y - 2 = 0;\end{cases}$

в) $\begin{cases}3x + 4y - x - 6 = 0, \\x - y + 2y - 2 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}2x + 4y - 6 = 0 \\x + y - 2 = 0;\end{cases}$

г) $\begin{cases}x + y - 5 = 0, \\x - y - 1 = 0\end{cases}$ и $\begin{cases}y = -x + 5, \\x - (-x + 5) - 1 = 0?\end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а) Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 2x + 5y - 11 = 0 \\ x - 2y - 1 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} 2x + 5y - 11 = 0 \\ 2x - 4y - 2 = 0 \end{cases} $

Первые уравнения в обеих системах одинаковы. Сравним вторые уравнения. Второе уравнение второй системы $2x - 4y - 2 = 0$ может быть получено из второго уравнения первой системы $x - 2y - 1 = 0$ путем умножения обеих частей уравнения на 2:

$2 \cdot (x - 2y - 1) = 2 \cdot 0$

$2x - 4y - 2 = 0$

Поскольку одно уравнение системы заменено на равносильное ему уравнение (полученное умножением на число, не равное нулю), а другое уравнение осталось без изменений, то системы равносильны.

Ответ: Равносильны.

б) Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x + y - 10 = 0 \\ x - y - 2 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} y = -x + 5 \\ x - y - 2 = 0 \end{cases} $

Вторые уравнения в обеих системах одинаковы. Сравним первые уравнения. В первой системе это $x + y - 10 = 0$. Во второй системе первое уравнение $y = -x + 5$ можно переписать в виде $x + y - 5 = 0$.

Уравнения $x + y - 10 = 0$ и $x + y - 5 = 0$ не являются равносильными, так как описывают две разные параллельные прямые. Следовательно, и системы уравнений не являются равносильными, так как у них будут разные решения.

Найдем решение первой системы. Сложив уравнения, получим $2x - 12 = 0$, откуда $x=6$. Подставив $x=6$ в первое уравнение, получим $6+y-10=0$, откуда $y=4$. Решение: $(6; 4)$.

Найдем решение второй системы. Подставим $y = -x+5$ во второе уравнение: $x - (-x+5) - 2 = 0$, что дает $2x-7=0$, откуда $x=3.5$. Тогда $y = -3.5 + 5 = 1.5$. Решение: $(3.5; 1.5)$.

Так как решения систем различны, системы не равносильны.

Ответ: Не равносильны.

в) Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 3x + 4y - x - 6 = 0 \\ x - y + 2y - 2 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} 2x + 4y - 6 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} $

Упростим уравнения первой системы, приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение: $3x - x + 4y - 6 = 0 \implies 2x + 4y - 6 = 0$.

Второе уравнение: $x - y + 2y - 2 = 0 \implies x + y - 2 = 0$.

Таким образом, первая система после упрощения принимает вид:

$ \begin{cases} 2x + 4y - 6 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} $

Эта система в точности совпадает со второй системой. Следовательно, системы равносильны.

Ответ: Равносильны.

г) Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ x - y - 1 = 0 \end{cases} $

и вторую систему:

$ \begin{cases} y = -x + 5 \\ x - (-x + 5) - 1 = 0 \end{cases} $

Вторая система получена из первой методом подстановки. Из первого уравнения первой системы $x + y - 5 = 0$ выразим $y$: $y = -x + 5$. Это и есть первое уравнение второй системы.

Затем это выражение для $y$ подставили во второе уравнение первой системы $x - y - 1 = 0$:

$x - (-x + 5) - 1 = 0$

Это второе уравнение второй системы. Преобразование системы уравнений методом подстановки является равносильным преобразованием. Это означает, что множество решений исходной системы совпадает с множеством решений новой системы.

Найдем решение первой системы. Сложив уравнения, получим $2x - 6 = 0$, откуда $x=3$. Подставив в первое уравнение, получим $3 + y - 5 = 0$, откуда $y=2$. Решение: $(3; 2)$.

Решим вторую систему. Из второго уравнения $x - (-x + 5) - 1 = 0 \implies 2x - 6 = 0$, откуда $x=3$. Из первого уравнения $y = -3 + 5 = 2$. Решение: $(3; 2)$.

Решения совпадают, следовательно, системы равносильны.

Ответ: Равносильны.