Номер 307, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.7. О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 307, страница 47.

Условие.

307. Решите систему уравнений:

a) $ \begin{cases} 2x - 3 = 3y - 4, \\ 3x - 2 = 2y - 6; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2x + 5 = 2,5y + 2, \\ 3x + 10 = 5y + 3; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 3,2x - 2,1y = 11, \\ 2,4x + 2,1y = 45; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 2,9x + 5,1y = -8, \\ 3,7x + 1,3y = -5. \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x - 3 = 3y - 4 \\ 3x - 2 = 2y - 6 \end{cases}$
Сначала приведем оба уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Первое уравнение: $2x - 3y = -4 + 3 \implies 2x - 3y = -1$.
Второе уравнение: $3x - 2y = -6 + 2 \implies 3x - 2y = -4$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 2x - 3y = -1 \\ 3x - 2y = -4 \end{cases}$
Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$\begin{cases} 3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot (-1) \\ -2 \cdot (3x - 2y) = -2 \cdot (-4) \end{cases} \implies \begin{cases} 6x - 9y = -3 \\ -6x + 4y = 8 \end{cases}$
Теперь сложим два уравнения системы:
$(6x - 9y) + (-6x + 4y) = -3 + 8$
$-5y = 5$
$y = -1$
Подставим найденное значение $y = -1$ в уравнение $2x - 3y = -1$:
$2x - 3(-1) = -1$
$2x + 3 = -1$
$2x = -4$
$x = -2$
Ответ: $x = -2, y = -1$.

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x + 5 = 2,5y + 2 \\ 3x + 10 = 5y + 3 \end{cases}$
Приведем уравнения к стандартному виду $Ax + By = C$.
Первое уравнение: $2x - 2,5y = 2 - 5 \implies 2x - 2,5y = -3$.
Второе уравнение: $3x - 5y = 3 - 10 \implies 3x - 5y = -7$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 2x - 2,5y = -3 \\ 3x - 5y = -7 \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2 \cdot (2x - 2,5y) = 2 \cdot (-3) \implies 4x - 5y = -6$.
Теперь система имеет вид:
$\begin{cases} 4x - 5y = -6 \\ 3x - 5y = -7 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$(4x - 5y) - (3x - 5y) = -6 - (-7)$
$4x - 3x = 1$
$x = 1$
Подставим $x = 1$ во второе уравнение $3x - 5y = -7$:
$3(1) - 5y = -7$
$3 - 5y = -7$
$-5y = -10$
$y = 2$
Ответ: $x = 1, y = 2$.

в) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 3,2x - 2,1y = 11 \\ 2,4x + 2,1y = 45 \end{cases}$
Коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($-2,1$ и $2,1$), поэтому удобно применить метод сложения.
Сложим два уравнения системы:
$(3,2x - 2,1y) + (2,4x + 2,1y) = 11 + 45$
$5,6x = 56$
$x = \frac{56}{5,6} = 10$
Подставим найденное значение $x=10$ во второе уравнение $2,4x + 2,1y = 45$:
$2,4 \cdot 10 + 2,1y = 45$
$24 + 2,1y = 45$
$2,1y = 45 - 24$
$2,1y = 21$
$y = \frac{21}{2,1} = 10$
Ответ: $x = 10, y = 10$.

г) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2,9x + 5,1y = -8 \\ 3,7x + 1,3y = -5 \end{cases}$
Для удобства вычислений умножим оба уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей.
$10 \cdot (2,9x + 5,1y) = 10 \cdot (-8) \implies 29x + 51y = -80$.
$10 \cdot (3,7x + 1,3y) = 10 \cdot (-5) \implies 37x + 13y = -50$.
Получаем систему:
$\begin{cases} 29x + 51y = -80 \\ 37x + 13y = -50 \end{cases}$
Решим систему методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$13y = -50 - 37x$
$y = \frac{-50 - 37x}{13}$
Подставим полученное выражение в первое уравнение:
$29x + 51 \left( \frac{-50 - 37x}{13} \right) = -80$
Умножим обе части уравнения на 13:
$13 \cdot 29x + 51(-50 - 37x) = -80 \cdot 13$
$377x - 2550 - 1887x = -1040$
Приведем подобные слагаемые:
$-1510x = -1040 + 2550$
$-1510x = 1510$
$x = -1$
Теперь найдем $y$, подставив $x = -1$ в выражение для $y$:
$y = \frac{-50 - 37(-1)}{13} = \frac{-50 + 37}{13} = \frac{-13}{13} = -1$
Ответ: $x = -1, y = -1$.