Номер 314, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 314, страница 52.

Условие.

314. Из «Арифметики» Н. Г. Курганова (1791). 23 человека — мужчин и женщин — ели в харчевне. Каждый мужчина платил 5 к., каждая женщина — 4 к., всего заплатили 1 р. Сколько было мужчин и женщин в отдельности?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим количество мужчин за $x$, а количество женщин за $y$.

Исходя из условия, всего в харчевне было 23 человека, что дает нам первое уравнение:

$x + y = 23$

Каждый мужчина заплатил 5 копеек, а каждая женщина — 4 копейки. Общая сумма составила 1 рубль, то есть 100 копеек. Отсюда получаем второе уравнение, которое отражает общую сумму платы:

$5x + 4y = 100$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + y = 23 \\ 5x + 4y = 100 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 23 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 4(23 - x) = 100$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$5x + 92 - 4x = 100$

$(5x - 4x) + 92 = 100$

$x = 100 - 92$

$x = 8$

Итак, мы нашли, что в харчевне было 8 мужчин. Теперь найдем количество женщин, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 23 - x = 23 - 8 = 15$

Таким образом, в харчевне было 15 женщин.

Выполним проверку полученных результатов:

1. Общее количество людей: $8 \text{ мужчин} + 15 \text{ женщин} = 23 \text{ человека}$. Это соответствует условию задачи.

2. Общая сумма платы: $(8 \times 5 \text{ копеек}) + (15 \times 4 \text{ копейки}) = 40 \text{ копеек} + 60 \text{ копеек} = 100 \text{ копеек}$, что равно 1 рублю. Это также соответствует условию задачи.

Ответ: в харчевне было 8 мужчин и 15 женщин.