Номер 319, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 319, страница 55.

Условие.

319*. Докажите, что если два натуральных числа a и b при делении на натуральное число n имеют одинаковые остатки, то $a - b$ делится на n.

Доказательство. Пусть натуральное число a при делении на натуральное число n даёт остаток r, тогда существует натуральное число x, такое, что $a = x \cdot n + r$.

Решение.

Решение 2.

Доказательство.
Пусть натуральное число $a$ при делении на натуральное число $n$ дает неполное частное $q_1$ и остаток $r$. По определению деления с остатком, это можно записать в виде равенства:
$a = q_1 \cdot n + r$, где $q_1$ — целое неотрицательное число и $0 \le r < n$.

По условию, натуральное число $b$ при делении на $n$ дает тот же остаток $r$. Пусть неполное частное в этом случае равно $q_2$. Тогда для числа $b$ справедливо равенство:
$b = q_2 \cdot n + r$, где $q_2$ — целое неотрицательное число.

Найдем разность чисел $a$ и $b$, подставив в нее записанные выше выражения:
$a - b = (q_1 \cdot n + r) - (q_2 \cdot n + r)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a - b = q_1 \cdot n + r - q_2 \cdot n - r = q_1 \cdot n - q_2 \cdot n$

Теперь вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$a - b = (q_1 - q_2) \cdot n$

Так как $q_1$ и $q_2$ являются целыми числами, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Полученное равенство $a - b = (q_1 - q_2) \cdot n$ показывает, что разность $a - b$ является произведением целого числа $(q_1 - q_2)$ и натурального числа $n$. По определению делимости, это означает, что разность $a - b$ делится на $n$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку разность $a - b$ можно представить в виде $(q_1 - q_2) \cdot n$, где $q_1$ и $q_2$ — неполные частные от деления $a$ и $b$ на $n$ соответственно, а их разность $(q_1 - q_2)$ является целым числом, то по определению делимости $a - b$ делится на $n$.