Номер 323, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 323, страница 56.

Условие.

323*. Пусть даны два натуральных числа. Докажите, что если сумма всех цифр этих чисел делится на 9, то и сумма данных чисел делится на 9.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства воспользуемся известным свойством делимости на 9: любое натуральное число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.

Пусть даны два натуральных числа, обозначим их $A$ и $B$.

Пусть $S(A)$ — это сумма цифр числа $A$, а $S(B)$ — это сумма цифр числа $B$.

Согласно упомянутому свойству, мы можем записать следующие сравнения по модулю 9:
$A \equiv S(A) \pmod{9}$
$B \equiv S(B) \pmod{9}$

Сложим эти два сравнения. Согласно свойствам сравнений, их можно почленно складывать:
$A + B \equiv S(A) + S(B) \pmod{9}$

Это сравнение означает, что сумма чисел $A+B$ дает такой же остаток при делении на 9, как и сумма всех их цифр, то есть $S(A) + S(B)$.

По условию задачи, сумма всех цифр этих чисел, то есть $S(A) + S(B)$, делится на 9. Это значит, что остаток от деления этой суммы на 9 равен нулю:
$S(A) + S(B) \equiv 0 \pmod{9}$

Теперь подставим это в наше основное сравнение для суммы чисел:
$A + B \equiv 0 \pmod{9}$

Данное сравнение означает, что сумма чисел $A+B$ делится на 9 без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.