Номер 324, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 324, страница 56.

Условие.

324*. Докажите, что для любого натурального числа $x$ сумма $x + 2S(x)$ делится на 3.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся известным свойством делимости: любое натуральное число $x$ и сумма его цифр $S(x)$ имеют одинаковые остатки при делении на 3. В терминах теории сравнений это свойство записывается как $x \equiv S(x) \pmod{3}$.

Доказательство свойства $x \equiv S(x) \pmod{3}$:

Пусть натуральное число $x$ имеет следующую десятичную запись:$x = a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0$, где $a_i$ — это цифры числа от 0 до 9.Тогда его можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:$x = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$.Сумма цифр этого числа равна:$S(x) = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$.Рассмотрим разность $x - S(x)$:$x - S(x) = (a_n \cdot 10^n + \dots + a_0) - (a_n + \dots + a_0) = a_n(10^n - 1) + a_{n-1}(10^{n-1} - 1) + \dots + a_1(10 - 1)$.Каждое число вида $10^k - 1$ представляет собой число, состоящее из $k$ девяток (например, $10^2 - 1 = 99$, $10^3 - 1 = 999$). Любое такое число делится на 9, а значит, и на 3.Следовательно, каждое слагаемое в выражении для $x - S(x)$ делится на 3, а значит и вся сумма $x - S(x)$ делится на 3. Если разность двух чисел делится на 3, то эти числа сравнимы по модулю 3, то есть $x \equiv S(x) \pmod{3}$. Свойство доказано.

Доказательство основного утверждения:

Теперь докажем, что сумма $x + 2S(x)$ делится на 3. Это равносильно доказательству того, что $x + 2S(x) \equiv 0 \pmod{3}$.Используя доказанное выше свойство $x \equiv S(x) \pmod{3}$, мы можем заменить $x$ на $S(x)$ в левой части доказываемого сравнения:$x + 2S(x) \equiv S(x) + 2S(x) \pmod{3}$.Упростим правую часть выражения:$S(x) + 2S(x) = 3S(x)$.Поскольку $S(x)$ является целым числом (как сумма цифр), то произведение $3S(x)$ очевидно делится на 3. Следовательно, $3S(x) \equiv 0 \pmod{3}$.Таким образом, мы показали, что $x + 2S(x) \equiv 0 \pmod{3}$, что и означает, что сумма $x + 2S(x)$ делится на 3 для любого натурального числа $x$.

Ответ: Утверждение доказано.