Номер 322, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 322, страница 56.

Условие.

322*. Докажите, что если $x$ — натуральное число, то разность $x - S(x)$ делится на 9.

Доказательство.

Пусть дано $n$-значное натуральное число $x$, его можно записать в виде

$x = 10^{n-1} \cdot a_{n-1} + 10^{n-2} \cdot a_{n-2} + \dots + 10^2 \cdot a_2 + 10 \cdot a_1 + a_0,$

где $a_{n-1}$, $a_{n-2}$, ..., $a_2$, $a_1$, $a_0$ — цифры разрядов числа $x$.

Каждая степень числа 10 есть сумма числа, кратного 9, и единицы, поэтому

$x = 9k + a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1 + a_0 = 9k + S(x), $

где $k$ — некоторое натуральное число.

Решение.

Решение 2.

Доказательство

Для доказательства этого утверждения мы представим натуральное число $x$ в его десятичной записи и проанализируем разность между самим числом и суммой его цифр.

Пусть $x$ — произвольное $n$-значное натуральное число. Его можно представить в виде суммы произведений его цифр на соответствующие степени числа 10: $x = a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + a_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0$ где $a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0$ — это цифры числа $x$ (целые числа от 0 до 9), причем старшая цифра $a_{n-1} \neq 0$.

Сумма цифр этого числа, которую мы обозначим как $S(x)$, равна: $S(x) = a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_2 + a_1 + a_0$

Теперь рассмотрим разность $x - S(x)$: $x - S(x) = (a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + a_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0) - (a_{n-1} + a_{n-2} + \dots + a_1 + a_0)$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами $a_i$: $x - S(x) = (a_{n-1} \cdot 10^{n-1} - a_{n-1}) + (a_{n-2} \cdot 10^{n-2} - a_{n-2}) + \dots + (a_1 \cdot 10 - a_1) + (a_0 \cdot 1 - a_0)$

Вынесем общие множители $a_i$ за скобки в каждой группе: $x - S(x) = a_{n-1}(10^{n-1} - 1) + a_{n-2}(10^{n-2} - 1) + \dots + a_1(10 - 1) + a_0(1 - 1)$

Рассмотрим выражения в скобках вида $10^k - 1$ для любого натурального $k \geq 1$:

• $10^1 - 1 = 9$
• $10^2 - 1 = 100 - 1 = 99$
• $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$

В общем виде число $10^k - 1$ представляет собой число, состоящее из $k$ девяток: $\underbrace{99\dots9}_{k \text{ раз}}$. Каждое такое число очевидно делится на 9. Например, $99 = 9 \cdot 11$, $999 = 9 \cdot 111$ и так далее.

Таким образом, каждое слагаемое в выражении для $x - S(x)$ имеет вид $a_i(10^i - 1)$ (для $i \geq 1$) и является произведением целого числа $a_i$ на число, кратное 9. Следовательно, каждое такое слагаемое делится на 9. Последнее слагаемое $a_0(1-1)$ равно 0, что также делится на 9.

Поскольку каждое слагаемое в сумме $a_{n-1}(10^{n-1} - 1) + a_{n-2}(10^{n-2} - 1) + \dots + a_1(10 - 1)$ делится на 9, то и вся сумма делится на 9.

Это доказывает, что разность $x - S(x)$ всегда делится на 9 для любого натурального числа $x$.

Ответ: Утверждение доказано. Разность между любым натуральным числом $x$ и суммой его цифр $S(x)$ всегда делится на 9.