Номер 329, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 2. Делимость многочленов. Дополнения. Часть 2 - номер 329, страница 58.

Условие.

329. Разделите многочлен A на многочлен B, если:

a) $A = x^2 + 2x + 5, B = x + 1;$

б) $A = 3x^3 + 5x^2 + 7x + 9, B = x^2 + 1;$

в) $A = 2x^2 - 4x + 11, B = x - 2;$

г) $A = 4x^3 - x^2 + 3x - 19, B = x^2 + 3x - 1.$

Решение.

Решение 2.

а) Выполним деление многочлена $A = x^2 + 2x + 5$ на многочлен $B = x + 1$ методом деления столбиком (уголком).

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^2$) на старший член делителя ($x$), получаем $x^2 / x = x$. Это первый член частного.
Умножаем делитель $x + 1$ на $x$: $x \cdot (x + 1) = x^2 + x$.
Вычитаем полученный многочлен из делимого: $(x^2 + 2x + 5) - (x^2 + x) = x + 5$.

Шаг 2: Теперь делим старший член нового делимого ($x$) на старший член делителя ($x$), получаем $x / x = 1$. Это второй член частного.
Умножаем делитель $x + 1$ на $1$: $1 \cdot (x + 1) = x + 1$.
Вычитаем из нового делимого: $(x + 5) - (x + 1) = 4$.

Степень остатка $4$ (нулевая степень) меньше степени делителя $x+1$ (первая степень), поэтому деление завершено. В результате деления многочлена $A$ на многочлен $B$ мы получили неполное частное $x + 1$ и остаток $4$.

Это можно записать в виде равенства: $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)(x + 1) + 4$.

Ответ: неполное частное $x + 1$, остаток $4$.

б) Выполним деление многочлена $A = 3x^3 + 5x^2 + 7x + 9$ на многочлен $B = x^2 + 1$.

Шаг 1: Делим $3x^3$ на $x^2$, получаем $3x$.
Умножаем $x^2 + 1$ на $3x$: $3x \cdot (x^2 + 1) = 3x^3 + 3x$.
Вычитаем из делимого: $(3x^3 + 5x^2 + 7x + 9) - (3x^3 + 3x) = 5x^2 + 4x + 9$.

Шаг 2: Делим $5x^2$ на $x^2$, получаем $5$.
Умножаем $x^2 + 1$ на $5$: $5 \cdot (x^2 + 1) = 5x^2 + 5$.
Вычитаем: $(5x^2 + 4x + 9) - (5x^2 + 5) = 4x + 4$.

Степень остатка $4x + 4$ (первая степень) меньше степени делителя $x^2 + 1$ (вторая степень), деление завершено. Неполное частное равно $3x + 5$, остаток равен $4x + 4$.

Ответ: неполное частное $3x + 5$, остаток $4x + 4$.

в) Выполним деление многочлена $A = 2x^2 - 4x + 11$ на многочлен $B = x - 2$.

Шаг 1: Делим $2x^2$ на $x$, получаем $2x$.
Умножаем $x - 2$ на $2x$: $2x \cdot (x - 2) = 2x^2 - 4x$.
Вычитаем из делимого: $(2x^2 - 4x + 11) - (2x^2 - 4x) = 11$.

Степень остатка $11$ (нулевая степень) меньше степени делителя $x - 2$ (первая степень), деление завершено. Неполное частное равно $2x$, остаток равен $11$.

Ответ: неполное частное $2x$, остаток $11$.

г) Выполним деление многочлена $A = 4x^3 - x^2 + 3x - 19$ на многочлен $B = x^2 + 3x - 1$.

Шаг 1: Делим $4x^3$ на $x^2$, получаем $4x$.
Умножаем $x^2 + 3x - 1$ на $4x$: $4x \cdot (x^2 + 3x - 1) = 4x^3 + 12x^2 - 4x$.
Вычитаем из делимого: $(4x^3 - x^2 + 3x - 19) - (4x^3 + 12x^2 - 4x) = -13x^2 + 7x - 19$.

Шаг 2: Делим $-13x^2$ на $x^2$, получаем $-13$.
Умножаем $x^2 + 3x - 1$ на $-13$: $-13 \cdot (x^2 + 3x - 1) = -13x^2 - 39x + 13$.
Вычитаем: $(-13x^2 + 7x - 19) - (-13x^2 - 39x + 13) = 46x - 32$.

Степень остатка $46x - 32$ (первая степень) меньше степени делителя $x^2 + 3x - 1$ (вторая степень), деление завершено. Неполное частное равно $4x - 13$, остаток равен $46x - 32$.

Ответ: неполное частное $4x - 13$, остаток $46x - 32$.