Номер 330, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 2. Делимость многочленов. Дополнения. Часть 2 - номер 330, страница 60.

Условие.

330. Найдите многочлен A, для которого верно равенство:

a) $x^6 - 1 = (x^3 + 1) \cdot A$;

б) $x^6 - 1 = (x^2 - 1) \cdot A$;

в) $x^6 - 1 = (x + 1) \cdot A$.

Решение.

Решение 2.

а)

Дано равенство: $x^6 - 1 = (x^3 + 1) \cdot A$.

Чтобы найти многочлен A, выразим его из этого равенства. Для этого нужно разделить многочлен $x^6 - 1$ на многочлен $x^3 + 1$:

$A = \frac{x^6 - 1}{x^3 + 1}$

Для упрощения этого выражения разложим числитель $x^6 - 1$ на множители. Представим его как разность квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b = 1$.

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Теперь подставим это разложение в выражение для A:

$A = \frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)}{x^3 + 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^3 + 1)$:

$A = x^3 - 1$

Ответ: $A = x^3 - 1$.

б)

Дано равенство: $x^6 - 1 = (x^2 - 1) \cdot A$.

Выразим многочлен A из равенства:

$A = \frac{x^6 - 1}{x^2 - 1}$

В этот раз представим числитель $x^6 - 1$ как разность кубов, используя формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^2$ и $b = 1$.

$x^6 - 1 = (x^2)^3 - 1^3 = (x^2 - 1)((x^2)^2 + x^2 \cdot 1 + 1^2) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$

Подставим полученное разложение в выражение для A:

$A = \frac{(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)}{x^2 - 1}$

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 - 1)$:

$A = x^4 + x^2 + 1$

Ответ: $A = x^4 + x^2 + 1$.

в)

Дано равенство: $x^6 - 1 = (x + 1) \cdot A$.

Выразим многочлен A:

$A = \frac{x^6 - 1}{x + 1}$

Для нахождения A разложим числитель $x^6 - 1$ на множители наиболее полным образом. Используем результаты предыдущих пунктов и формулы суммы и разности кубов:

$x^6 - 1 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Разложим каждый из множителей:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Таким образом, полное разложение $x^6 - 1$ выглядит так:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$

Подставим это в выражение для A:

$A = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1}$

Сократим дробь на $(x + 1)$:

$A = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

Мы знаем, что $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1$. Перегруппируем множители:

$A = (x^3 - 1)(x^2 - x + 1)$

Теперь раскроем скобки, чтобы получить A в виде многочлена:

$A = x^3(x^2 - x + 1) - 1(x^2 - x + 1) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$

Ответ: $A = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1$.