Номер 336, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 3. Линейные диофантовы уравнения. Дополнения. Часть 2 - номер 336, страница 64.

Условие.

336. Купили 7 одинаковых карандашей и 6 одинаковых ручек на 378 р. Определите цену одного карандаша (она больше 20 р.) и цену одной ручки (она больше 30 р.), если известно, что цены (в рублях) выражаются натуральными числами.

Пусть цена карандаша составляет $x$ р., а цена ручки — $y$ р. ($x$ и $y$ — натуральные числа). Тогда верно равенство

$$7x + 6y = 378.$$

Решение.

Решение 2.

Нам дано диофантово уравнение $7x + 6y = 378$, где $x$ и $y$ — натуральные числа, представляющие цены карандаша и ручки в рублях соответственно. Также заданы следующие ограничения: цена карандаша больше 20 рублей ($x > 20$), а цена ручки больше 30 рублей ($y > 30$).

Для решения этого уравнения преобразуем его. Заметим, что правая часть уравнения, число 378, и одно из слагаемых в левой части, $6y$, делятся на 6. $378 \div 6 = 63$

Выразим $7x$ из уравнения: $7x = 378 - 6y$ $7x = 6(63 - y)$

Из этого равенства видно, что левая часть, $7x$, должна быть кратна 6. Поскольку числа 7 и 6 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), для того чтобы произведение $7x$ делилось на 6, необходимо, чтобы $x$ делилось на 6.

Таким образом, мы можем записать $x$ в виде $x = 6k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Теперь воспользуемся ограничением на цену карандаша: $x > 20$. Подставим $x = 6k$: $6k > 20$ $k > \frac{20}{6}$ $k > 3\frac{1}{3}$

Поскольку $k$ — натуральное число, его наименьшее возможное значение равно 4. То есть, $k \ge 4$.

Подставим $x = 6k$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$: $7(6k) + 6y = 378$ $42k + 6y = 378$

Разделим обе части уравнения на 6: $7k + y = 63$

Выразим $y$ через $k$: $y = 63 - 7k$

Теперь воспользуемся ограничением на цену ручки: $y > 30$. Подставим выражение для $y$: $63 - 7k > 30$

Решим это неравенство относительно $k$: $63 - 30 > 7k$ $33 > 7k$ $k < \frac{33}{7}$ $k < 4\frac{5}{7}$

Мы получили два условия для натурального числа $k$: $k \ge 4$ и $k < 4\frac{5}{7}$. Единственное натуральное число, которое удовлетворяет этим двум неравенствам, — это $k = 4$.

Зная значение $k$, мы можем найти искомые цены $x$ и $y$: Цена карандаша: $x = 6k = 6 \cdot 4 = 24$ рубля. Цена ручки: $y = 63 - 7k = 63 - 7 \cdot 4 = 63 - 28 = 35$ рублей.

Проверим найденные значения:

• Цены — натуральные числа: 24 и 35. Верно.
• Цена карандаша больше 20 р.: $24 > 20$. Верно.
• Цена ручки больше 30 р.: $35 > 30$. Верно.
• Общая стоимость: $7 \cdot 24 + 6 \cdot 35 = 168 + 210 = 378$ р. Верно.

Ответ: Цена одного карандаша составляет 24 рубля, а цена одной ручки — 35 рублей.