Страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

174. Запишите многочлен в виде квадрата разности:

a) $a^2 - 10a + 25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = \ldots$

б) $a^2 - 16a + 64 = a^2 - \ldots + 8^2 = \ldots$

в) $4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - \ldots$

г) $9a^2 - 12a + 4 = \ldots$

д) $4a^2 - 2a + 0,25 = \ldots$

e) $a^2 - 14a + 49 = \ldots$

а) Для того чтобы представить многочлен $a^2 - 10a + 25$ в виде квадрата разности, воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном выражении первый член $x^2 = a^2$, следовательно, $x=a$. Третий член $y^2 = 25$, что равно $5^2$, следовательно, $y=5$.
Проверим, соответствует ли средний член $-10a$ удвоенному произведению $-2xy$.
$-2xy = -2 \cdot a \cdot 5 = -10a$.
Все условия выполнены, значит, многочлен является полным квадратом разности.
$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$.
Ответ: $(a-5)^2$.

б) Рассмотрим многочлен $a^2 - 16a + 64$. Применим ту же формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^2$, значит $x=a$. Третий член $y^2 = 64$, что равно $8^2$, значит $y=8$.
Проверяем средний член: $-2xy = -2 \cdot a \cdot 8 = -16a$.
Выражение является полным квадратом разности.
$a^2 - 16a + 64 = (a-8)^2$.
Ответ: $(a-8)^2$.

в) Рассмотрим многочлен $4a^2 - 12a + 9$.
Первый член $x^2 = 4a^2$, что равно $(2a)^2$, следовательно $x=2a$.
Третий член $y^2 = 9$, что равно $3^2$, следовательно $y=3$.
Проверяем средний член: $-2xy = -2 \cdot (2a) \cdot 3 = -12a$.
Выражение является полным квадратом разности.
$4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2$.
Ответ: $(2a-3)^2$.

г) Рассмотрим многочлен $9a^2 - 12a + 4$.
Первый член $x^2 = 9a^2 = (3a)^2$, значит $x=3a$.
Третий член $y^2 = 4 = 2^2$, значит $y=2$.
Проверяем средний член: $-2xy = -2 \cdot (3a) \cdot 2 = -12a$.
Выражение является полным квадратом разности.
$9a^2 - 12a + 4 = (3a-2)^2$.
Ответ: $(3a-2)^2$.

д) Рассмотрим многочлен $4a^2 - 2a + 0,25$.
Первый член $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $x=2a$.
Третий член $y^2 = 0,25 = (0,5)^2$, значит $y=0,5$.
Проверяем средний член: $-2xy = -2 \cdot (2a) \cdot 0,5 = -2a$.
Выражение является полным квадратом разности.
$4a^2 - 2a + 0,25 = (2a-0,5)^2$.
Ответ: $(2a-0,5)^2$.

е) Рассмотрим многочлен $a^2 - 14a + 49$.
Первый член $x^2 = a^2$, значит $x=a$.
Третий член $y^2 = 49 = 7^2$, значит $y=7$.
Проверяем средний член: $-2xy = -2 \cdot a \cdot 7 = -14a$.
Выражение является полным квадратом разности.
$a^2 - 14a + 49 = (a-7)^2$.
Ответ: $(a-7)^2$.

175. Выделите полный квадрат суммы:

$a^2 + 2a + 5 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 4 = (a + 1)^2 + 4$

а) $a^2 + 4a - 1 = \dots$

б) $a^2 + 6a + 10 = \dots$

в) $4a^2 + 4a + 3 = \dots$

г) $9a^2 + 12a + 7 = \dots$

Для решения задачи используется метод выделения полного квадрата, основанный на формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

а) $a^2 + 4a - 1$

В данном выражении $a^2$ соответствует $x^2$, значит $x=a$. Член $4a$ соответствует удвоенному произведению $2xy$, то есть $2 \cdot a \cdot y = 4a$, откуда находим $y=2$. Для получения полного квадрата нам необходим член $y^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 4:

$a^2 + 4a - 1 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 - 2^2 - 1 = (a^2 + 4a + 4) - 4 - 1$

Выражение в скобках является полным квадратом $(a+2)^2$. Завершаем преобразование:

$(a+2)^2 - 5$

Ответ: $(a + 2)^2 - 5$

б) $a^2 + 6a + 10$

Здесь $x^2 = a^2$, следовательно $x=a$. Член $6a$ — это $2xy$, значит $2 \cdot a \cdot y = 6a$, откуда $y=3$. Необходимый для полного квадрата член $y^2 = 3^2 = 9$. Представим свободный член 10 в виде суммы $9+1$:

$a^2 + 6a + 10 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 9 + 1 = (a^2 + 6a + 9) + 1$

Сгруппировав первые три члена, получаем полный квадрат:

$(a+3)^2 + 1$

Ответ: $(a + 3)^2 + 1$

в) $4a^2 + 4a + 3$

В этом выражении $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $x=2a$. Член $4a$ — это $2xy$, то есть $2 \cdot (2a) \cdot y = 4a$, откуда $y=1$. Для полного квадрата нужен член $y^2 = 1^2 = 1$. Представим свободный член 3 как сумму $1+2$:

$4a^2 + 4a + 3 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot 1 + 1 + 2 = (4a^2 + 4a + 1) + 2$

Группируем и сворачиваем по формуле:

$(2a+1)^2 + 2$

Ответ: $(2a + 1)^2 + 2$

г) $9a^2 + 12a + 7$

Здесь $x^2 = 9a^2 = (3a)^2$, откуда $x=3a$. Член $12a$ соответствует $2xy$, то есть $2 \cdot (3a) \cdot y = 12a$, откуда $6ay = 12a$ и $y=2$. Необходимый член $y^2 = 2^2 = 4$. Представим свободный член 7 в виде суммы $4+3$:

$9a^2 + 12a + 7 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 4 + 3 = (9a^2 + 12a + 4) + 3$

Сгруппировав, получаем искомое выражение:

$(3a+2)^2 + 3$

Ответ: $(3a + 2)^2 + 3$

176. Выделите полный квадрат разности:

а) $a^2 - 2a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 + 3 = \dots$

б) $a^2 - 4a - 1 = \dots$

в) $a^2 - 6a + 13 = \dots$

г) $4a^2 - 4a + 5 = \dots$

д) $9a^2 - 12a + 11 = \dots$

Для выделения полного квадрата разности используется формула сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Суть метода заключается в том, чтобы в исходном выражении вида $ax^2 + bx + c$ выделить слагаемые, образующие полный квадрат, и сгруппировать их.

а) $a^2 - 2a + 4$

В данном выражении $a^2$ является квадратом переменной $a$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $2a$. Следовательно, $2 \cdot a \cdot y = 2a$, откуда второй член $y = 1$. Квадрат второго члена равен $1^2 = 1$.

Чтобы выделить полный квадрат $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$, представим число 4 в виде суммы $1 + 3$.

$a^2 - 2a + 4 = (a^2 - 2a + 1) + 3 = (a - 1)^2 + 3$

Ответ: $(a - 1)^2 + 3$

б) $a^2 - 4a - 1$

Здесь первый член $x = a$. Удвоенное произведение $2xy = 4a$, значит $2 \cdot a \cdot y = 4a$, откуда второй член $y = 2$. Квадрат второго члена $y^2 = 2^2 = 4$.

Чтобы получить выражение $a^2 - 4a + 4$, нам нужно прибавить 4. Чтобы не изменить исходное выражение, мы также должны и вычесть 4.

$a^2 - 4a - 1 = (a^2 - 4a + 4) - 4 - 1 = (a - 2)^2 - 5$

Ответ: $(a - 2)^2 - 5$

в) $a^2 - 6a + 13$

Первый член $x = a$. Удвоенное произведение $2xy = 6a$, значит $2 \cdot a \cdot y = 6a$, откуда второй член $y = 3$. Квадрат второго члена $y^2 = 3^2 = 9$.

Представим число 13 в виде суммы $9 + 4$, чтобы выделить полный квадрат $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.

$a^2 - 6a + 13 = (a^2 - 6a + 9) + 4 = (a - 3)^2 + 4$

Ответ: $(a - 3)^2 + 4$

г) $4a^2 - 4a + 5$

Первый член $x^2 = 4a^2$, значит $x = 2a$. Удвоенное произведение $2xy = 4a$, значит $2 \cdot (2a) \cdot y = 4a$, откуда второй член $y = 1$. Квадрат второго члена $y^2 = 1^2 = 1$.

Представим число 5 в виде суммы $1 + 4$, чтобы выделить полный квадрат $(2a - 1)^2 = 4a^2 - 4a + 1$.

$4a^2 - 4a + 5 = (4a^2 - 4a + 1) + 4 = (2a - 1)^2 + 4$

Ответ: $(2a - 1)^2 + 4$

д) $9a^2 - 12a + 11$

Первый член $x^2 = 9a^2$, значит $x = 3a$. Удвоенное произведение $2xy = 12a$, значит $2 \cdot (3a) \cdot y = 12a$, откуда второй член $y = 2$. Квадрат второго члена $y^2 = 2^2 = 4$.

Представим число 11 в виде суммы $4 + 7$, чтобы выделить полный квадрат $(3a - 2)^2 = 9a^2 - 12a + 4$.

$9a^2 - 12a + 11 = (9a^2 - 12a + 4) + 7 = (3a - 2)^2 + 7$

Ответ: $(3a - 2)^2 + 7$

335. На 480 р. купили несколько эскимо по 35 р. и несколько булочек по 27 р. Определите, сколько эскимо и сколько булочек купили.

Пусть купили $m$ эскимо и $n$ булочек ($m$ и $n$ — натуральные числа). Тогда верно равенство $35m + 27n = 480$.

Заметим, что для наименьшего значения $m = 1$ корень уравнения $35 + 27n = 480$ равен $16,481...$. Это число не натуральное.

С увеличением значения $m$ в равенстве $35m + 27n = 480$ значения $n$ уменьшаются, т. е. $n < 17$.

Числа 35 и 480 делятся на 5, а число 27 не делится на 5, значит, равенство возможно только для тех $n$, которые делятся на 5. Из значений $n$, равных 5, 10, 15, выберем такое, для которого $m = \frac{480 - 27n}{35}$ является натуральным числом.

Пусть m — количество купленных эскимо, а n — количество купленных булочек. Поскольку цена одного эскимо составляет 35 рублей, а одной булочки — 27 рублей, общая стоимость покупки в 480 рублей выражается уравнением: $35m + 27n = 480$

В условии задачи сказано, что купили "несколько" эскимо и "несколько" булочек, что означает, что m и n являются натуральными числами (то есть целыми и положительными: $m \geq 1$, $n \geq 1$). Полученное уравнение является линейным диофантовым уравнением, и его нужно решить в натуральных числах. Для этого воспользуемся методом анализа делимости, как предложено в условии.

Преобразуем уравнение, чтобы выразить один из членов: $35m = 480 - 27n$

Левая часть этого равенства, $35m$, очевидно делится на 5, так как один из множителей (35) кратен 5. Следовательно, и правая часть, $480 - 27n$, также должна быть кратна 5.

Число 480 делится на 5 (так как его последняя цифра 0). Чтобы разность $(480 - 27n)$ делилась на 5, необходимо, чтобы и вычитаемое $27n$ делилось на 5. Так как множитель 27 не делится на 5, то на 5 должен делиться другой множитель, то есть n.

Теперь определим возможный диапазон для n. Так как m — натуральное число, то $m \geq 1$, а значит $35m \geq 35$. Подставим это в преобразованное уравнение: $480 - 27n \geq 35$ $480 - 35 \geq 27n$ $445 \geq 27n$ $n \leq \frac{445}{27} \approx 16.48$

Таким образом, мы ищем натуральное число n, которое одновременно удовлетворяет двум условиям:
1. $1 \leq n \leq 16$
2. n кратно 5
Этим условиям соответствуют значения: $n = 5, 10, 15$.

Проверим каждое из этих значений, подставляя их в формулу для m, которая получается из того же уравнения: $m = \frac{480 - 27n}{35}$. Значение m должно быть натуральным числом.

Случай 1: $n = 5$
$m = \frac{480 - 27 \times 5}{35} = \frac{480 - 135}{35} = \frac{345}{35} \approx 9.86$. Это число не является целым, поэтому данное решение не подходит.

Случай 2: $n = 10$
$m = \frac{480 - 27 \times 10}{35} = \frac{480 - 270}{35} = \frac{210}{35} = 6$. Значение $m=6$ является натуральным числом. Таким образом, пара $(m=6, n=10)$ является решением.

Случай 3: $n = 15$
$m = \frac{480 - 27 \times 15}{35} = \frac{480 - 405}{35} = \frac{75}{35} \approx 2.14$. Это число также не является целым, поэтому данное решение не подходит.

Единственным решением в натуральных числах является пара, где количество эскимо $m=6$, а количество булочек $n=10$. Проведем проверку: $35 \times 6 + 27 \times 10 = 210 + 270 = 480$. Равенство верное.

Ответ: было куплено 6 эскимо и 10 булочек.

336. Купили 7 одинаковых карандашей и 6 одинаковых ручек на 378 р. Определите цену одного карандаша (она больше 20 р.) и цену одной ручки (она больше 30 р.), если известно, что цены (в рублях) выражаются натуральными числами.

Пусть цена карандаша составляет $x$ р., а цена ручки — $y$ р. ($x$ и $y$ — натуральные числа). Тогда верно равенство

$$7x + 6y = 378.$$

Нам дано диофантово уравнение $7x + 6y = 378$, где $x$ и $y$ — натуральные числа, представляющие цены карандаша и ручки в рублях соответственно. Также заданы следующие ограничения: цена карандаша больше 20 рублей ($x > 20$), а цена ручки больше 30 рублей ($y > 30$).

Для решения этого уравнения преобразуем его. Заметим, что правая часть уравнения, число 378, и одно из слагаемых в левой части, $6y$, делятся на 6. $378 \div 6 = 63$

Выразим $7x$ из уравнения: $7x = 378 - 6y$ $7x = 6(63 - y)$

Из этого равенства видно, что левая часть, $7x$, должна быть кратна 6. Поскольку числа 7 и 6 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), для того чтобы произведение $7x$ делилось на 6, необходимо, чтобы $x$ делилось на 6.

Таким образом, мы можем записать $x$ в виде $x = 6k$, где $k$ — некоторое натуральное число.

Теперь воспользуемся ограничением на цену карандаша: $x > 20$. Подставим $x = 6k$: $6k > 20$ $k > \frac{20}{6}$ $k > 3\frac{1}{3}$

Поскольку $k$ — натуральное число, его наименьшее возможное значение равно 4. То есть, $k \ge 4$.

Подставим $x = 6k$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$: $7(6k) + 6y = 378$ $42k + 6y = 378$

Разделим обе части уравнения на 6: $7k + y = 63$

Выразим $y$ через $k$: $y = 63 - 7k$

Теперь воспользуемся ограничением на цену ручки: $y > 30$. Подставим выражение для $y$: $63 - 7k > 30$

Решим это неравенство относительно $k$: $63 - 30 > 7k$ $33 > 7k$ $k < \frac{33}{7}$ $k < 4\frac{5}{7}$

Мы получили два условия для натурального числа $k$: $k \ge 4$ и $k < 4\frac{5}{7}$. Единственное натуральное число, которое удовлетворяет этим двум неравенствам, — это $k = 4$.

Зная значение $k$, мы можем найти искомые цены $x$ и $y$: Цена карандаша: $x = 6k = 6 \cdot 4 = 24$ рубля. Цена ручки: $y = 63 - 7k = 63 - 7 \cdot 4 = 63 - 28 = 35$ рублей.

Проверим найденные значения:

• Цены — натуральные числа: 24 и 35. Верно.
• Цена карандаша больше 20 р.: $24 > 20$. Верно.
• Цена ручки больше 30 р.: $35 > 30$. Верно.
• Общая стоимость: $7 \cdot 24 + 6 \cdot 35 = 168 + 210 = 378$ р. Верно.

Ответ: Цена одного карандаша составляет 24 рубля, а цена одной ручки — 35 рублей.