Страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

181. При каких значениях x и y обращается в нуль многочлен $25x^2 + 4y^2 - 20x + 20y + 29$?

Для того чтобы найти значения x и y, при которых многочлен обращается в нуль, необходимо приравнять его к нулю:

$25x^2 + 4y^2 - 20x + 20y + 29 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод выделения полного квадрата. Сгруппируем слагаемые с переменной x и с переменной y:

$(25x^2 - 20x) + (4y^2 + 20y) + 29 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с x. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. У нас есть $25x^2 = (5x)^2$ и $20x = 2 \cdot (5x) \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $2^2 = 4$, но в данном случае мы можем представить свободный член $29$ как сумму $4 + 25$.

Выделим полный квадрат для выражения с y. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. У нас есть $4y^2 = (2y)^2$ и $20y = 2 \cdot (2y) \cdot 5$. Для полного квадрата необходимо слагаемое $5^2 = 25$.

Перепишем исходное уравнение, разбив $29$ на $4$ и $25$:

$(25x^2 - 20x + 4) + (4y^2 + 20y + 25) = 0$

Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты:

$(5x - 2)^2 + (2y + 5)^2 = 0$

Сумма двух квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ($\ge 0$).

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 5x - 2 = 0 \\ 2y + 5 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

Из первого уравнения находим x:
$5x = 2$
$x = \frac{2}{5}$

Из второго уравнения находим y:
$2y = -5$
$y = -\frac{5}{2}$

Следовательно, многочлен обращается в нуль только при $x = \frac{2}{5}$ и $y = -\frac{5}{2}$.

Ответ: $x = \frac{2}{5}$, $y = -2,5$.

182. Укажите, какое наименьшее значение принимает данный многочлен и при каких значениях x и y:

a) $x^2 + 4y^2 + 6x - 12y + 10;$

б) $9x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 4.$

a) $x^2 + 4y^2 + 6x - 12y + 10;$

Для нахождения наименьшего значения многочлена преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Этот метод позволяет представить многочлен в виде суммы квадратов и константы.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и слагаемые, содержащие $y$:

$(x^2 + 6x) + (4y^2 - 12y) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для группы с $x$. Формула полного квадрата: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2=9$.

$x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x+3)^2 - 9$.

Далее выделим полный квадрат для группы с $y$. Сначала вынесем коэффициент 4 за скобки.

$4y^2 - 12y = 4(y^2 - 3y)$.

Теперь для выражения в скобках $y^2 - 3y = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{3}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

$4(y^2 - 3y) = 4((y^2 - 3y + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4}) = 4((y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) = 4(y - \frac{3}{2})^2 - 4 \cdot \frac{9}{4} = 4(y - \frac{3}{2})^2 - 9$.

Альтернативно, можно записать $4y^2 - 12y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 3$. Добавим и вычтем $3^2=9$, чтобы получить $(2y-3)^2 - 9$.

Подставим полученные выражения обратно в исходный многочлен:

$((x+3)^2 - 9) + ((2y-3)^2 - 9) + 10 = (x+3)^2 + (2y-3)^2 - 9 - 9 + 10 = (x+3)^2 + (2y-3)^2 - 8$.

Выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+3)^2 \geq 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x+3=0$, то есть $x=-3$.

Аналогично, выражение $(2y-3)^2$ всегда неотрицательно, $(2y-3)^2 \geq 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $2y-3=0$, то есть $y=\frac{3}{2}$.

Таким образом, наименьшее значение всего многочлена достигается, когда оба квадрата равны нулю. Это значение равно $0 + 0 - 8 = -8$.

Ответ: наименьшее значение равно -8 при $x = -3$ и $y = \frac{3}{2}$.

б) $9x^2 + 4y^2 - 12x - 4y + 4.$

Для нахождения наименьшего значения этого многочлена также применим метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(9x^2 - 12x) + (4y^2 - 4y) + 4$

Выделим полный квадрат для $x$. Заметим, что $9x^2 = (3x)^2$ и $12x = 2 \cdot (3x) \cdot 2$.

$9x^2 - 12x = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 - 2^2 = (3x-2)^2 - 4$.

Выделим полный квадрат для $y$. Заметим, что $4y^2 = (2y)^2$ и $4y = 2 \cdot (2y) \cdot 1$.

$4y^2 - 4y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y-1)^2 - 1$.

Подставим преобразованные группы в исходное выражение:

$((3x-2)^2 - 4) + ((2y-1)^2 - 1) + 4 = (3x-2)^2 + (2y-1)^2 - 4 - 1 + 4 = (3x-2)^2 + (2y-1)^2 - 1$.

Наименьшее значение суммы квадратов достигается, когда каждый квадрат равен нулю, так как $(3x-2)^2 \geq 0$ и $(2y-1)^2 \geq 0$.

Приравняем основания степеней к нулю, чтобы найти соответствующие значения $x$ и $y$:

$3x-2=0 \implies 3x=2 \implies x=\frac{2}{3}$.

$2y-1=0 \implies 2y=1 \implies y=\frac{1}{2}$.

При этих значениях $x$ и $y$ многочлен принимает свое наименьшее значение: $0^2 + 0^2 - 1 = -1$.

Ответ: наименьшее значение равно -1 при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$.

183. Укажите все значения $a$, при каждом из которых многочлен $x^2 + 6x + 10 + a$ принимает положительные значения.

Данный многочлен $P(x) = x^2 + 6x + 10 + a$ является квадратичной функцией от переменной $x$. График этой функции — парабола. Чтобы многочлен принимал только положительные значения при любом значении $x$, необходимо, чтобы вся парабола располагалась выше оси абсцисс (оси Ox).

Это условие выполняется, если одновременно верны два утверждения:

1. Ветви параболы направлены вверх. Это определяется знаком коэффициента при $x^2$. В данном случае он равен $1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

2. Парабола не имеет точек пересечения с осью Ox, то есть не имеет действительных корней. Это означает, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x + 10 + a = 0$ должен быть отрицательным.

Вычислим дискриминант $D$ для квадратного уравнения $x^2 + 6x + (10 + a) = 0$. В этом уравнении коэффициенты: $b = 6$, старший коэффициент (при $x^2$) равен $1$, свободный член $c = 10 + a$.

По формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (10 + a) = 36 - 4(10 + a) = 36 - 40 - 4a = -4 - 4a$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$-4 - 4a < 0$

$-4 < 4a$

Разделим обе части на 4:

$-1 < a$, или $a > -1$.

Другой способ решения:

Можно найти наименьшее значение многочлена, выделив полный квадрат.

$x^2 + 6x + 10 + a = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 + a = (x+3)^2 - 9 + 10 + a = (x+3)^2 + 1 + a$.

Выражение $(x+3)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x = -3$). Следовательно, наименьшее значение всего многочлена равно $0 + 1 + a = 1 + a$.

Чтобы многочлен всегда был положительным, его наименьшее значение должно быть больше нуля:

$1 + a > 0$

$a > -1$

Ответ: $a > -1$

184. Докажите формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$(a - b)(a + b) = a^2 + ab - \dots$

Доказательство. Для доказательства формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ необходимо преобразовать правую часть равенства, раскрыв скобки, и показать, что она тождественно равна левой части.

Воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(a - b)(a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Продолжая вычисления, начатые в условии, получаем:

$(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2$

Так как умножение коммутативно (от перемены мест множителей произведение не меняется), то $ba = ab$. Поэтому выражение можно переписать в следующем виде:

$a^2 + ab - ab - b^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $ab$ и $-ab$ являются противоположными, и их сумма равна нулю:

$ab - ab = 0$

В результате упрощения получаем:

$a^2 - b^2$

Таким образом, мы доказали, что $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Раскрыв скобки в правой части выражения $(a - b)(a + b)$, мы получаем $a^2 + ab - ba - b^2$. После приведения подобных слагаемых ($ab - ba = 0$) выражение упрощается до $a^2 - b^2$. Следовательно, формула $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ верна.