Страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

188. Вычислите:

а) $2017^2 - 2016^2 = (2017 - \dots)(2017 + \dots) = \dots$

б) $56^2 - 44^2 = (\dots - \dots)(\dots + \dots) = \dots$

в) $7,5^2 - 2,5^2 = \dots$

г) $0,98^2 - 0,02^2 = \dots$

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $2017^2 - 2016^2$

Подставляем значения $a = 2017$ и $b = 2016$ в формулу разности квадратов, заполняя пропуски в выражении:

$2017^2 - 2016^2 = (2017 - 2016)(2017 + 2016)$

Теперь вычисляем значения в каждой скобке:

$2017 - 2016 = 1$

$2017 + 2016 = 4033$

Перемножаем полученные результаты:

$1 \cdot 4033 = 4033$

Ответ: 4033

б) $56^2 - 44^2$

Применяем ту же формулу, где $a = 56$ и $b = 44$:

$56^2 - 44^2 = (56 - 44)(56 + 44)$

Вычисляем значения в скобках:

$56 - 44 = 12$

$56 + 44 = 100$

Находим произведение:

$12 \cdot 100 = 1200$

Ответ: 1200

в) $7,5^2 - 2,5^2$

Используем формулу разности квадратов для $a = 7,5$ и $b = 2,5$:

$7,5^2 - 2,5^2 = (7,5 - 2,5)(7,5 + 2,5)$

Выполняем вычисления в скобках:

$7,5 - 2,5 = 5$

$7,5 + 2,5 = 10$

Перемножаем результаты:

$5 \cdot 10 = 50$

Ответ: 50

г) $0,98^2 - 0,02^2$

Применяем формулу для $a = 0,98$ и $b = 0,02$:

$0,98^2 - 0,02^2 = (0,98 - 0,02)(0,98 + 0,02)$

Вычисляем значения в скобках:

$0,98 - 0,02 = 0,96$

$0,98 + 0,02 = 1$

Находим произведение:

$0,96 \cdot 1 = 0,96$

Ответ: 0,96

189*. Докажите, что если $p$ — простое число и $p > 3$, то $p^2 - 1$ делится на 12.

Доказательство. Из трёх последовательных натуральных чисел $p - 1$, $p$, $p + 1$ одно делится на 3, но это не $p$, так как $p$ — простое число и $p > 3$. По той же причине число $p$ не делится на 2, тогда .........

Доказательство.

Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 1$ делится на 12, необходимо показать, что оно делится одновременно на 3 и на 4. Этого будет достаточно, поскольку числа 3 и 4 взаимно просты, и их произведение равно 12.

1. Докажем делимость на 3.
Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $p - 1$, $p$ и $p + 1$. Среди них обязательно найдется одно число, кратное 3. По условию $p$ — простое число и $p > 3$, значит, $p$ на 3 не делится. Следовательно, на 3 делится либо $p - 1$, либо $p + 1$.
Выражение $p^2 - 1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.
Так как один из множителей в этом произведении делится на 3, то и само произведение $p^2 - 1$ делится на 3.

2. Докажем делимость на 4.
Так как $p$ — простое число, большее 3, оно не может быть четным (единственное четное простое число — это 2). Значит, $p$ — нечетное число. Тогда числа $p - 1$ и $p + 1$ являются двумя последовательными четными числами.
Произведение двух последовательных четных чисел всегда делится на 8. Действительно, пусть эти числа $2k$ и $2k+2$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Из двух последовательных целых чисел $k$ и $k+1$ одно является четным, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Таким образом, всё произведение $(p-1)(p+1) = 4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$. Если число делится на 8, то оно, очевидно, делится и на 4.

Вывод.
Мы доказали, что $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 4. Поскольку числа 3 и 4 взаимно просты, то $p^2 - 1$ должно делиться на их произведение, то есть на $3 \times 4 = 12$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

190*. Придумайте иллюстрацию равенства $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для положительных чисел $a$ и $b$ $(a > b)$.

Для иллюстрации равенства $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ воспользуемся геометрическим методом, представив алгебраические выражения в виде площадей фигур. Поскольку $a$ и $b$ — положительные числа и $a > b$, мы можем считать их длинами отрезков.

Площадь $a^2$ — это площадь квадрата со стороной $a$. Площадь $b^2$ — это площадь квадрата со стороной $b$.

Выражение $a^2 - b^2$ можно представить как площадь большого квадрата со стороной $a$, из которого "вырезали" меньший квадрат со стороной $b$. Предположим, мы вырезали его из одного из углов. В результате получится L-образная фигура, которую в геометрии называют гномоном. Площадь этого гномона в точности равна $S = a^2 - b^2$.

Теперь покажем, что площадь этой же фигуры можно вычислить по-другому, и она будет равна $(a-b)(a+b)$. Для этого мысленно разделим наш гномон на три части. Если мы вырезали квадрат $b \times b$ из угла, то оставшуюся фигуру можно разделить на:

• Один центральный квадрат со стороной $(a-b)$. Его площадь равна $(a-b)^2$.
• Два одинаковых прямоугольника, примыкающих к этому квадрату. Каждый из них будет иметь стороны $b$ и $(a-b)$. Площадь каждого такого прямоугольника равна $b(a-b)$.

Площадь всего гномона равна сумме площадей этих трех частей:$S = (a-b)^2 + b(a-b) + b(a-b)$

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:$S = (a-b) \cdot [(a-b) + b + b]$

Упростим выражение в скобках:$S = (a-b) \cdot (a - b + 2b) = (a-b)(a+b)$

Мы получили, что площадь одной и той же геометрической фигуры (гномона) можно выразить двумя способами: как $a^2 - b^2$ и как $(a-b)(a+b)$. Следовательно, эти выражения равны. Таким образом, мы проиллюстрировали, что $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Ответ: Иллюстрация основана на вычислении площади L-образной фигуры (гномона), полученной удалением квадрата со стороной $b$ из квадрата со стороной $a$. С одной стороны, её площадь по определению равна $a^2 - b^2$. С другой стороны, эту фигуру можно разбить на квадрат со стороной $(a-b)$ и два прямоугольника со сторонами $b$ и $(a-b)$. Сумма их площадей, $(a-b)^2 + 2b(a-b)$, после алгебраических преобразований даёт произведение $(a-b)(a+b)$, что и доказывает равенство.

191. Докажите формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Доказательство. $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + \ldots

Доказательство.

Для доказательства формулы суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ необходимо раскрыть скобки в правой части выражения. Для этого нужно умножить каждый член многочлена $(a + b)$ на каждый член многочлена $(a^2 - ab + b^2)$. Продолжим вычисление, начатое в условии задачи:

$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-a^2b$ и $+a^2b$ взаимно уничтожаются (их сумма равна нулю), так же как и слагаемые $+ab^2$ и $-ab^2$:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате преобразования правой части выражения мы получили левую часть: $a^3 + b^3$. Следовательно, данное равенство является тождеством, и формула доказана.

Ответ: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.

343. Некоторое расстояние автомобиль проехал в гору со скоростью 42 км/ч, а с горы со скоростью 56 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля на пути в оба конца?

Пусть длина участка пути равна $s$ км. Тогда в оба конца автомобиль проехал $2s$ км, затратив на весь путь

$\frac{s}{42} + \frac{s}{56} = \dots (\text{ч.})$

Средняя скорость движения равна $\dots$

Пусть длина участка пути равна s км. Тогда в оба конца автомобиль проехал 2s км, затратив на весь путь

Общее время движения ($T_{общ}$) складывается из времени движения в гору ($t_1$) и времени движения с горы ($t_2$). Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - расстояние, а $v$ - скорость.
Время движения в гору: $t_1 = \frac{s}{42}$ ч.
Время движения с горы: $t_2 = \frac{s}{56}$ ч.
Общее время: $T_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{s}{42} + \frac{s}{56}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 42 и 56.
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$56 = 2^3 \cdot 7$
НОК(42, 56) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 21 = 168$.
Теперь выполним сложение:
$T_{общ} = \frac{s \cdot 4}{42 \cdot 4} + \frac{s \cdot 3}{56 \cdot 3} = \frac{4s}{168} + \frac{3s}{168} = \frac{4s + 3s}{168} = \frac{7s}{168}$.
Сократим полученную дробь на 7:
$T_{общ} = \frac{s}{24}$ ч.
Ответ: $\frac{s}{24}$ ч.

Средняя скорость движения равна

Средняя скорость движения ($v_{ср}$) вычисляется как отношение всего пройденного пути ($S_{общ}$) ко всему времени движения ($T_{общ}$).
Весь пройденный путь равен сумме пути в гору и с горы: $S_{общ} = s + s = 2s$ км.
Все время движения, как мы нашли ранее, составляет: $T_{общ} = \frac{s}{24}$ ч.
Подставим значения в формулу для средней скорости:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{2s}{\frac{s}{24}}$.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:
$v_{ср} = 2s \cdot \frac{24}{s}$.
Переменная $s$ (расстояние) в числителе и знаменателе сокращается:
$v_{ср} = 2 \cdot 24 = 48$ км/ч.
Ответ: 48 км/ч.

344. Туристы шли от города до озера со скоростью 6 км/ч, а возвращались обратно со скоростью 4 км/ч. Какова средняя скорость движения туристов на всём пути?

Для того чтобы найти среднюю скорость движения, необходимо весь пройденный путь разделить на всё время движения. Средняя скорость не является средним арифметическим скоростей, так как время, затраченное на путь туда и обратно, разное.

Формула для расчета средней скорости: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

1. Обозначим расстояние от города до озера как $S$ км. Туристы прошли это расстояние дважды: сначала до озера, а потом обратно. Следовательно, весь пройденный путь $S_{общ}$ равен:$S_{общ} = S + S = 2S$

2. Найдем время, затраченное на каждый участок пути.Время, которое туристы шли до озера со скоростью $v_1 = 6$ км/ч, составляет:$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{6}$ часов.

Время, которое они возвращались обратно со скоростью $v_2 = 4$ км/ч, составляет:$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{4}$ часов.

3. Найдем общее время движения $t_{общ}$, сложив время пути туда и обратно:$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{6} + \frac{S}{4}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю (12):$t_{общ} = \frac{2S}{12} + \frac{3S}{12} = \frac{2S + 3S}{12} = \frac{5S}{12}$ часов.

4. Теперь, зная общий путь и общее время, можем вычислить среднюю скорость:$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{5S}{12}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь. Также мы можем сократить переменную $S$, так как она есть и в числителе, и в знаменателе:$V_{ср} = 2S \cdot \frac{12}{5S} = \frac{2 \cdot 12}{5} = \frac{24}{5} = 4,8$ км/ч.

Ответ: средняя скорость движения туристов на всём пути составила 4,8 км/ч.

345. Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а остаток пути — со скоростью 80 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля на всём пути?

Средняя скорость движения вычисляется по формуле: весь пройденный путь, деленный на всё время движения.

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть весь путь равен $S$.

Первую треть пути, то есть расстояние $S_1 = \frac{1}{3}S$, автомобиль ехал со скоростью $v_1 = 60$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\frac{1}{3}S}{60} = \frac{S}{180}$ ч.

Остаток пути составляет $S_2 = S - \frac{1}{3}S = \frac{2}{3}S$. Этот участок автомобиль ехал со скоростью $v_2 = 80$ км/ч. Время, затраченное на второй участок, равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{\frac{2}{3}S}{80} = \frac{2S}{240} = \frac{S}{120}$ ч.

Общее время движения $t_{общ}$ является суммой времен на двух участках:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{180} + \frac{S}{120}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 360:

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{360} + \frac{3 \cdot S}{360} = \frac{5S}{360} = \frac{S}{72}$ ч.

Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость на всём пути. Общий путь $S_{общ} = S$, а общее время $t_{общ} = \frac{S}{72}$ ч.

$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{72}} = S \cdot \frac{72}{S} = 72$ км/ч.

Ответ: 72 км/ч.