Страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

208*. Объясните с помощью рисунка 13, почему равенство

$(a + b)^3$

$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

верно для положительных чисел a и b.

.......................

.......................

.......................

.......................

.......................

Рис. 13

Равенство $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ можно объяснить с помощью геометрической интерпретации, представленной на рисунке 13. На рисунке изображен большой куб, ребро которого имеет длину $(a + b)$, поскольку оно состоит из двух отрезков длиной $a$ и $b$.

Объем этого большого куба вычисляется как длина ребра в третьей степени, то есть $V_{\text{общий}} = (a + b)^3$.

С другой стороны, этот куб можно представить как сумму объемов составляющих его меньших многогранников. Рисунок показывает, что куб состоит из следующих частей:

- одного куба с ребром $a$, объем которого равен $a^3$;

- трех прямоугольных параллелепипедов с ребрами $a, a, b$, суммарный объем которых равен $3 \times (a \cdot a \cdot b) = 3a^2b$;

- трех прямоугольных параллелепипедов с ребрами $a, b, b$, суммарный объем которых равен $3 \times (a \cdot b \cdot b) = 3ab^2$;

- одного куба с ребром $b$, объем которого равен $b^3$.

Полный объем большого куба равен сумме объемов этих частей: $V_{\text{общий}} = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Так как оба выражения, $(a + b)^3$ и $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, представляют объем одного и того же куба, они должны быть равны. Это доказывает справедливость равенства для любых положительных чисел $a$ и $b$, которые могут представлять длины отрезков.

Ответ: Равенство является верным, потому что оно представляет двумя разными способами объем одного и того же тела. Левая часть, $(a+b)^3$, — это объем куба с ребром $(a+b)$. Правая часть, $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, — это сумма объемов частей, на которые этот куб разбит на рисунке: одного куба с ребром $a$ (объем $a^3$), трех параллелепипедов с ребрами $a, a, b$ (суммарный объем $3a^2b$), трех параллелепипедов с ребрами $a, b, b$ (суммарный объем $3ab^2$) и одного куба с ребром $b$ (объем $b^3$).

209. Докажите двумя способами формулу куба разности:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Доказательство.

I способ. $(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = $

........................

II способ. $(a - b)^3 = (a + (-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = $

I способ.

Этот способ заключается в прямом раскрытии скобок. Сначала представим куб разности $(a - b)^3$ как произведение $(a - b)$ на квадрат разности $(a - b)^2$. Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$.

Теперь умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

II способ.

Этот способ основан на использовании формулы куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Представим разность $(a - b)$ в виде суммы $(a + (-b))$.

$(a - b)^3 = (a + (-b))^3$.

Теперь применим формулу куба суммы, подставив $x = a$ и $y = -b$:

$a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3$.

Упростим полученное выражение. Учтём, что $(-b)^2 = b^2$ и $(-b)^3 = -b^3$:

$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Таким образом, формула доказана.

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

210. Примените формулу куба разности:

$(a - 5)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 - 5^3$

a) $(x - 6)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot \dots + 3 \cdot x \cdot \dots - \dots$

б) $(x - 7)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot \dots + \dots$

в) $(8 - m)^3 = \dots$

Для решения данных задач используется формула куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В выражении $(x - 6)^3$ применим формулу куба разности, где $a = x$ и $b = 6$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в формулу:
$(x - 6)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 - 6^3$.

Теперь упростим полученное выражение, выполнив вычисления:
$x^3 - (3 \cdot 6)x^2 + (3 \cdot 36)x - 216 = x^3 - 18x^2 + 108x - 216$.

Ответ: $(x - 6)^3 = x^3 - 18x^2 + 108x - 216$.

Для выражения $(x - 7)^3$ используем ту же формулу, где $a = x$ и $b = 7$.

Подставляем значения в формулу:
$(x - 7)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 7 + 3 \cdot x \cdot 7^2 - 7^3$.

Упростим выражение, произведя вычисления:
$x^3 - (3 \cdot 7)x^2 + (3 \cdot 49)x - 343 = x^3 - 21x^2 + 147x - 343$.

Ответ: $(x - 7)^3 = x^3 - 21x^2 + 147x - 343$.

Для выражения $(8 - m)^3$ применим формулу куба разности, где $a = 8$ и $b = m$.

Подставляем эти значения в формулу:
$(8 - m)^3 = 8^3 - 3 \cdot 8^2 \cdot m + 3 \cdot 8 \cdot m^2 - m^3$.

Выполним вычисления для каждого члена выражения, чтобы упростить его:
$8^3 = 512$
$3 \cdot 8^2 \cdot m = 3 \cdot 64 \cdot m = 192m$
$3 \cdot 8 \cdot m^2 = 24m^2$

Собирая все вместе, получаем итоговый многочлен:
$512 - 192m + 24m^2 - m^3$.

Ответ: $(8 - m)^3 = 512 - 192m + 24m^2 - m^3$.

356. ОГЭ. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 мин, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между городами, $S = 168$ км.
• $v_1$ — скорость первого велосипедиста, $v_1 = 15$ км/ч.
• $v_2$ — скорость второго велосипедиста, $v_2 = 30$ км/ч.
• $t_{ост}$ — время остановки первого велосипедиста, $t_{ост} = 48$ мин.
• $S_2$ — искомое расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи.

Решение можно найти несколькими способами. Рассмотрим один из них, пошагово.

1. Переведем время остановки из минут в часы, чтобы все единицы были согласованы.

В одном часе 60 минут, поэтому:

$t_{ост} = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$.

2. Определим общее время до встречи.

Пусть $t$ — это общее время, прошедшее с момента старта до момента встречи. Второй велосипедист двигался все это время без остановок. Первый велосипедист двигался время $(t - t_{ост})$.

Расстояние, которое проехал первый велосипедист: $S_1 = v_1 \cdot (t - t_{ост})$.

Расстояние, которое проехал второй велосипедист: $S_2 = v_2 \cdot t$.

Вместе они преодолели все расстояние между городами, поэтому: $S_1 + S_2 = S$.

Составим и решим уравнение:

$v_1 \cdot (t - t_{ост}) + v_2 \cdot t = S$

$15 \cdot (t - 0.8) + 30 \cdot t = 168$

$15t - 15 \cdot 0.8 + 30t = 168$

$15t - 12 + 30t = 168$

$45t = 168 + 12$

$45t = 180$

$t = \frac{180}{45}$

$t = 4$ часа.

Таким образом, с момента выезда до встречи прошло 4 часа.

3. Найдем расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Второй велосипедист двигался все это время $t=4$ часа со скоростью $v_2 = 30$ км/ч. Чтобы найти пройденное им расстояние, нужно умножить его скорость на время в пути.

$S_2 = v_2 \cdot t = 30 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 120 \text{ км}$.

Ответ: 120 км.