Страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

211. Запишите в виде многочлена стандартного вида:

а) $(a - 1)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3 = \ldots$

б) $(a - 2)^3 = \ldots$

в) $(a - 3)^3 = \ldots$

г) $(a - 4)^3 = \ldots$

а) Чтобы записать выражение $(a - 1)^3$ в виде многочлена стандартного вида, необходимо воспользоваться формулой сокращенного умножения "куб разности": $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В данном случае, $x = a$ и $y = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a - 1)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 1 + 3 \cdot a \cdot 1^2 - 1^3$
Теперь упростим полученное выражение, выполнив все действия:
$a^3 - 3a^2 + 3a - 1$
Это и есть многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^3 - 3a^2 + 3a - 1$

б) Аналогично предыдущему пункту, применим формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ для выражения $(a - 2)^3$.
Здесь $x = a$ и $y = 2$.
$(a - 2)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3$
Упростим, выполнив вычисления:
$a^3 - (3 \cdot 2)a^2 + (3 \cdot 4)a - 8$
$a^3 - 6a^2 + 12a - 8$
Ответ: $a^3 - 6a^2 + 12a - 8$

в) Используем ту же формулу $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ для выражения $(a - 3)^3$.
Здесь $x = a$ и $y = 3$.
$(a - 3)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3$
Упростим выражение:
$a^3 - (3 \cdot 3)a^2 + (3 \cdot 9)a - 27$
$a^3 - 9a^2 + 27a - 27$
Ответ: $a^3 - 9a^2 + 27a - 27$

г) Для выражения $(a - 4)^3$ снова применим формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
В этом случае $x = a$ и $y = 4$.
$(a - 4)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 - 4^3$
Выполним вычисления для приведения к многочлену стандартного вида:
$a^3 - (3 \cdot 4)a^2 + (3 \cdot 16)a - 64$
$a^3 - 12a^2 + 48a - 64$
Ответ: $a^3 - 12a^2 + 48a - 64$

212. Запишите в виде куба разности:

$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3$

а) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = \dots$

б) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = \dots$

в) $x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = \dots$

Чтобы записать данные выражения в виде куба разности, мы будем использовать формулу сокращенного умножения для куба разности, которая приведена в условии задачи: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. Для каждого выражения мы определим, чему равны $x$ и $y$ в формуле, и проверим соответствие всех членов.

а) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

1. Сравним данное выражение с формулой $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

2. Определим значения $a$ и $b$.
Первый член выражения $x^3$ соответствует $a^3$, следовательно, $a = x$.
Последний член выражения $-1$ соответствует $-b^3$, следовательно, $b^3 = 1$, а значит $b = 1$.

3. Проверим, соответствуют ли средние члены выражения нашей формуле при $a=x$ и $b=1$.
Второй член по формуле: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 1 = -3x^2$. Это совпадает со вторым членом в исходном выражении.
Третий член по формуле: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 1^2 = 3x$. Этот член также совпадает.

4. Так как все члены выражения соответствуют развернутой формуле куба разности для $a=x$ и $b=1$, мы можем записать:
$x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$.

Ответ: $(x - 1)^3$.

б) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

1. Аналогично предыдущему пункту, применяем формулу $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

2. Определим $a$ и $b$.
Первый член $x^3$ дает нам $a = x$.
Последний член $-8$ соответствует $-b^3$, следовательно, $b^3 = 8$, откуда $b = 2$.

3. Выполним проверку средних членов для $a=x$ и $b=2$.
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 2 = -6x^2$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 2^2 = 3 \cdot x \cdot 4 = 12x$. Совпадает.

4. Выражение полностью соответствует формуле, поэтому:
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3$.

Ответ: $(x - 2)^3$.

в) $x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

1. Используем тот же подход и формулу $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

2. Определим $a$ и $b$.
Из $x^3$ получаем $a = x$.
Из $-27$ получаем $-b^3$, значит $b^3 = 27$, откуда $b = 3$.

3. Проверим средние члены для $a=x$ и $b=3$.
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot x^2 \cdot 3 = -9x^2$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 3^2 = 3 \cdot x \cdot 9 = 27x$. Совпадает.

4. Убедившись в полном соответствии, записываем результат:
$x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x - 3)^3$.

Ответ: $(x - 3)^3$.

213. Вычислите:

a) $16^3 - 3 \cdot 16^2 \cdot 6 + 3 \cdot 16 \cdot 6^2 - 6^3 = (16 - 6)^3 = $

б) $1,3^3 - 3 \cdot 1,3^2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 1,3 \cdot 0,3^2 - 0,3^3 = \dots$

а) Данное выражение представляет собой развернутую формулу сокращенного умножения, а именно куб разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
В данном примере $a = 16$ и $b = 6$.
Таким образом, выражение $16^3 - 3 \cdot 16^2 \cdot 6 + 3 \cdot 16 \cdot 6^2 - 6^3$ можно свернуть в $(16 - 6)^3$.
Вычислим значение полученного выражения:
$(16 - 6)^3 = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000.

б) Это выражение также соответствует формуле куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Здесь $a = 1,3$ и $b = 0,3$.
Свернем выражение по формуле:
$1,3^3 - 3 \cdot 1,3^2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 1,3 \cdot 0,3^2 - 0,3^3 = (1,3 - 0,3)^3$.
Теперь вычислим результат:
$(1,3 - 0,3)^3 = 1^3 = 1$.
Ответ: 1.

214*. Объясните с помощью рисунка 14, почему равенство

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

верно для положительных чисел a и b, a > b.

Перепишем левую часть равенства в виде

$a^3 - 3(a - b)ab - b^3.$

.......................

.......................

.......................

Рис. 14

Для объяснения данного тождества с помощью рисунка 14 используем геометрическую интерпретацию объемов. Равенство $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ можно доказать, рассмотрев объемы фигур, на которые можно разбить куб со стороной $a$.

Представим куб с длиной ребра $a$. Его объем равен $V_{большого} = a^3$. В условии задачи $a > b$, поэтому мы можем вырезать из одного угла этого большого куба малый куб с ребром $(a-b)$. Объем этого малого куба равен $V_{малого} = (a-b)^3$.

На рисунке 14 показана фигура, которая остается после мысленного удаления малого куба из большого. Эта фигура называется гномоном. Ее объем равен разности объемов большого и малого кубов: $V_{гномона} = V_{большого} - V_{малого} = a^3 - (a-b)^3$.

Теперь найдем объем этого гномона другим способом, разложив его на более простые части. Как видно из геометрии куба, гномон можно разбить на следующие семь непересекающихся фигур:

• Один куб с ребром $b$, расположенный в углу. Его объем равен $b^3$.
• Три одинаковых прямоугольных параллелепипеда с измерениями $(a-b) \times (a-b) \times b$. Суммарный объем этих трех параллелепипедов равен $3b(a-b)^2$.
• Три одинаковых прямоугольных параллелепипеда с измерениями $(a-b) \times b \times b$. Суммарный объем этих трех параллелепипедов равен $3b^2(a-b)$.

Следовательно, полный объем гномона равен сумме объемов этих семи частей:

$V_{гномона} = b^3 + 3b(a-b)^2 + 3b^2(a-b)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие параллелепипеды, и вынесем общий множитель $3b(a-b)$:

$3b(a-b)^2 + 3b^2(a-b) = 3b(a-b)[(a-b) + b] = 3b(a-b) \cdot a = 3ab(a-b)$.

Таким образом, объем гномона можно записать как $V_{гномона} = 3ab(a-b) + b^3$.

Теперь у нас есть два выражения для объема гномона, которые мы можем приравнять:

$a^3 - (a-b)^3 = 3ab(a-b) + b^3$.

Из этого равенства выразим объем малого куба $(a-b)^3$:

$(a-b)^3 = a^3 - (3ab(a-b) + b^3) = a^3 - 3ab(a-b) - b^3$.

Это и есть преобразование, предложенное в условии задачи. Раскрыв скобки в правой части, мы получаем исходное тождество:

$(a-b)^3 = a^3 - (3a^2b - 3ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Это геометрическое доказательство подтверждает справедливость формулы куба разности для положительных $a$ и $b$ при $a>b$.

Ответ:
Равенство верно, так как оно является алгебраической записью геометрического факта. Объем большого куба со стороной $a$ ($V = a^3$) можно представить как сумму объемов составляющих его непересекающихся частей: одного куба со стороной $(a-b)$ (объем $(a-b)^3$), одного куба со стороной $b$ (объем $b^3$) и шести прямоугольных параллелепипедов, чей суммарный объем равен $3ab(a-b)$. Записав это в виде равенства объемов $a^3 = (a-b)^3 + b^3 + 3ab(a-b)$ и выразив из него $(a-b)^3$, мы получаем тождество $(a-b)^3 = a^3 - 3ab(a-b) - b^3$, которое после раскрытия скобок преобразуется к виду $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

357. ЕГЭ. У Алёны есть мобильный телефон, заряд аккумулятора которого хватает на 6 ч разговора или 210 ч ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?

Пусть 1 ч Алёна говорила по телефону и 1 ч телефон находился в режиме ожидания. Тогда за эти 2 ч израсходована $1/6 + 1/210 = 35/210 + 1/210 = 36/210 = 6/35$ часть заряда аккумулятора.

Поэтому полного заряда аккумулятора хватит на $2 / (6/35) = 2 * 35/6 = 70/6 = 35/3$ таких пар часов, т. е. на $35/3 * 2 = 70/3$ ч.

Ответ. $70/3$.

Для решения задачи определим, какую долю полного заряда аккумулятора телефон расходует за 1 час в каждом режиме. Поскольку полного заряда хватает на 6 часов разговора, то за 1 час разговора расходуется $\frac{1}{6}$ часть заряда. Аналогично, полного заряда хватает на 210 часов ожидания, значит, за 1 час в режиме ожидания расходуется $\frac{1}{210}$ часть заряда.

В условии задачи сказано, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки. Это значит, что время разговора равно времени ожидания. Поэтому для расчета общего времени можно следовать предложенной в задаче схеме, рассмотрев расход за равные промежутки времени разговора и ожидания.

Пусть 1 ч Алёна говорила по телефону и 1 ч телефон находился в режиме ожидания. Тогда за эти 2 ч израсходована ... часть заряда аккумулятора.
Расход заряда за эти 2 часа равен сумме расходов в каждом режиме:
$\frac{1}{6} + \frac{1}{210} = \frac{35}{210} + \frac{1}{210} = \frac{36}{210}$.
Сократив дробь на 6, получаем $\frac{6}{35}$.
Таким образом, за 2 часа (1 час разговора + 1 час ожидания) израсходована $\frac{6}{35}$ часть заряда.

Поэтому полного заряда аккумулятора хватит на ... таких пар часов, т. е. на ... ч.
Весь заряд аккумулятора примем за 1. Чтобы найти, на сколько таких двухчасовых периодов хватит полного заряда, разделим 1 на расход за один такой период:
$1 \div \frac{6}{35} = 1 \cdot \frac{35}{6} = \frac{35}{6}$.
Полного заряда хватит на $\frac{35}{6}$ таких пар часов.
Поскольку каждый такой период длится 2 часа, общее время работы телефона до полной разрядки (т.е. время всей поездки) составит:
$\frac{35}{6} \times 2 = \frac{70}{6} = \frac{35}{3}$ часа.

Ответ: Алёна ехала на поезде $\frac{35}{3}$ часа, что составляет 11 часов 40 минут.

358. Имеется уксусный раствор массой 1,5 кг, содержащий 40 % уксуса. Сколько воды нужно добавить в раствор, чтобы новый раствор содержал 10 % уксуса?

I способ. Вычислим массу уксуса в растворе:

$0,40 \cdot 1,5 = 0,6$ (кг).

При доливании воды масса уксуса не изменится, поэтому новая масса раствора составит $0,6 : 0,1 = 6$ (кг). Следовательно, нужно добавить .......... кг воды.

II способ. При доливании воды масса уксуса не изменится, поэтому если процентная концентрация уменьшится в $40 : 10 = 4$ раза, то масса раствора увеличится в 4 раза и составит $1,5 \cdot 4 = 6$ (кг). Следовательно, нужно добавить .......... кг воды.

I способ.

1. Сначала вычислим массу чистого уксуса в исходном растворе. При общей массе раствора 1,5 кг и концентрации уксуса 40% (или 0,40), масса уксуса составляет:
$1,5 \text{ кг} \cdot 0,40 = 0,6 \text{ кг}$.

2. При добавлении воды масса чистого уксуса в растворе не меняется и по-прежнему равна 0,6 кг. В новом растворе эта масса должна составлять 10% (или 0,10) от новой общей массы. Найдем новую массу раствора ($m_{нов}$):
$m_{нов} = \frac{0,6 \text{ кг}}{0,10} = 6 \text{ кг}$.

3. Чтобы найти, сколько воды нужно добавить, вычтем из новой массы раствора его первоначальную массу:
$m_{воды} = 6 \text{ кг} - 1,5 \text{ кг} = 4,5 \text{ кг}$.

Ответ: 4,5 кг.

II способ.

1. При добавлении воды масса чистого уксуса остается неизменной. Концентрация раствора должна уменьшиться с 40% до 10%. Найдем, во сколько раз уменьшится концентрация:
$\frac{40\%}{10\%} = 4$ раза.

2. Поскольку масса растворенного вещества (уксуса) постоянна, общая масса раствора обратно пропорциональна его концентрации. Это означает, что если концентрация уменьшается в 4 раза, то общая масса раствора должна увеличиться в 4 раза. Вычислим новую массу раствора:
$1,5 \text{ кг} \cdot 4 = 6 \text{ кг}$.

3. Масса добавленной воды равна разности между новой и исходной массами раствора:
$6 \text{ кг} - 1,5 \text{ кг} = 4,5 \text{ кг}$.

Ответ: 4,5 кг.