Номер 331, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 2. Делимость многочленов. Дополнения. Часть 2 - номер 331, страница 61.

Условие.

331. Найдите НОД (A; B), где $A = x^3 - 4x^2 + x + 6$, $B = x^2 - x - 2$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) многочленов $A = x^3 - 4x^2 + x + 6$ и $B = x^2 - x - 2$ можно разложить их на множители и найти общие множители.

1. Разложение многочлена B на множители.

Многочлен $B = x^2 - x - 2$ является квадратным трёхчленом. Чтобы разложить его на множители, найдём его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -2$
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Следовательно, многочлен $B$ можно разложить на линейные множители:
$B = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 2)(x + 1)$.

2. Проверка корней B для многочлена A.

Если многочлены $A$ и $B$ имеют общий делитель, то корни этого делителя должны быть корнями обоих многочленов. Проверим, являются ли корни $B$ (числа 2 и -1) корнями многочлена $A$.
Подставим $x = 2$ в выражение для $A$:
$A(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 2 + 6 = 8 - 4 \cdot 4 + 2 + 6 = 8 - 16 + 8 = 0$.
Поскольку $A(2) = 0$, то $(x - 2)$ является множителем многочлена $A$.

Подставим $x = -1$ в выражение для $A$:
$A(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$.
Поскольку $A(-1) = 0$, то $(x + 1)$ также является множителем многочлена $A$.

3. Нахождение НОД.

Мы установили, что $(x - 2)$ и $(x + 1)$ являются множителями как многочлена $A$, так и многочлена $B$. Следовательно, их произведение, $(x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 = B$, также является множителем $A$.
Это означает, что многочлен $A$ делится на многочлен $B$ без остатка.
По определению, наибольший общий делитель двух многочленов, один из которых делится на другой, равен делителю. В данном случае НОД($A, B$) = $B$.

Ответ: $x^2 - x - 2$.