Номер 325, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 1. Делимость чисел. Дополнения. Часть 2 - номер 325, страница 57.

Условие.

325*. Докажите, что уравнение $x + 2S(x) = 2018$ не имеет корней.

Решение.

Решение 2.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений, методом от противного. Предположим, что целочисленное решение $x$ существует. Обозначим через $S(x)$ сумму цифр числа $x$.

Воспользуемся известным свойством делимости: любое целое число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3. Это свойство можно записать в виде сравнения по модулю 3: $$x \equiv S(x) \pmod{3}$$

Рассмотрим исходное уравнение $x + 2S(x) = 2018$ по модулю 3.

Сначала преобразуем левую часть уравнения. Используя свойство $x \equiv S(x) \pmod{3}$, получаем: $$x + 2S(x) \equiv S(x) + 2S(x) \pmod{3}$$ Складывая слагаемые, имеем: $$S(x) + 2S(x) = 3S(x)$$ Поскольку $S(x)$ — целое число, произведение $3S(x)$ делится на 3 нацело. Следовательно, остаток от деления левой части уравнения на 3 равен 0: $$x + 2S(x) \equiv 0 \pmod{3}$$

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Найдем остаток от деления числа 2018 на 3. Для этого сложим его цифры: $2+0+1+8=11$. Число 11 при делении на 3 дает остаток 2, так как $11 = 3 \cdot 3 + 2$. Таким образом: $$2018 \equiv 2 \pmod{3}$$

Теперь, приравнивая остатки левой и правой частей уравнения по модулю 3, мы получаем: $$0 \equiv 2 \pmod{3}$$

Данное утверждение является ложным, так как 0 и 2 дают разные остатки при делении на 3. Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о существовании целочисленного решения было неверным.

Ответ: Уравнение $x + 2S(x) = 2018$ не имеет корней.