Номер 338, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

Дополнения к главе 4. Метод Гаусса. Дополнения. Часть 2 - номер 338, страница 66.

Условие.

338. Решите систему уравнений методом Гаусса:

a) $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ 3x - 2y = -16 \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ 3x + y = 2 \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 2x - 5y = -13 \\ 8x + 3y = -1 \end{cases} $

г) $ \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + y - z = 4 \\ -x + y + z = -2 \end{cases} $

д) $ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - 3y + 4z = 8 \\ -x + y - 3z = -8 \end{cases} $

е) $ \begin{cases} x - 2y + z = 4 \\ 2x + 3y - 4z = -5 \\ 3x - 4y - 5z = 2 \end{cases} $

ж) $ \begin{cases} x - 2y + 3z = 9 \\ 3x + 2y - z = -1 \\ x + y + z = 2 \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

а) $ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ 3x - 2y = -16; \end{cases} $
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками (метод Гаусса).
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 \\ 3 & -2 & | & -16 \end{pmatrix} $
Умножим вторую строку на 2 и вычтем из нее первую строку, умноженную на 3 ($2R_2 - 3R_1 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 \\ 2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 & 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 & | & 2 \cdot (-16) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 1 \\ 0 & -7 & | & -35 \end{pmatrix} $
Получили систему, эквивалентную исходной:
$ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ -7y = -35; \end{cases} $
Из второго уравнения находим $y$:
$-7y = -35 \implies y = 5$
Подставляем значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:
$2x + 5 = 1 \implies 2x = -4 \implies x = -2$
Ответ: $x = -2, y = 5$.

б) $ \begin{cases} x - 2y = 4, \\ 3x + y = 2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3 ($R_2 - 3R_1 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & | & 4 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot (-2) & | & 2 - 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 7 & | & -10 \end{pmatrix} $
Получили систему:
$ \begin{cases} x - 2y = 4, \\ 7y = -10; \end{cases} $
Из второго уравнения: $y = -10/7$.
Подставляем $y$ в первое уравнение:
$x - 2(-10/7) = 4 \implies x + 20/7 = 4 \implies x = 4 - 20/7 = 28/7 - 20/7 = 8/7$.
Ответ: $x = 8/7, y = -10/7$.

в) $ \begin{cases} 2x - 5y = -13, \\ 8x + 3y = -1; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 2 & -5 & | & -13 \\ 8 & 3 & | & -1 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 4 ($R_2 - 4R_1 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 2 & -5 & | & -13 \\ 8 - 4 \cdot 2 & 3 - 4 \cdot (-5) & | & -1 - 4 \cdot (-13) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 & | & -13 \\ 0 & 23 & | & 51 \end{pmatrix} $
Получили систему:
$ \begin{cases} 2x - 5y = -13, \\ 23y = 51; \end{cases} $
Из второго уравнения: $y = 51/23$.
Подставляем $y$ в первое уравнение:
$2x - 5(51/23) = -13 \implies 2x - 255/23 = -13 \implies 2x = -13 + 255/23 = (-299 + 255)/23 = -44/23 \implies x = -22/23$.
Ответ: $x = -22/23, y = 51/23$.

г) $ \begin{cases} x - y + z = 0, \\ x + y - z = 4, \\ -x + y + z = -2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 1 & -1 & | & 4 \\ -1 & 1 & 1 & | & -2 \end{pmatrix} $
Вычтем первую строку из второй ($R_2 - R_1 \rightarrow R_2$) и прибавим первую строку к третьей ($R_3 + R_1 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 2 & -2 & | & 4 \\ 0 & 0 & 2 & | & -2 \end{pmatrix} $
Матрица уже приведена к ступенчатому виду. Получаем систему:
$ \begin{cases} x - y + z = 0, \\ 2y - 2z = 4, \\ 2z = -2; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $2z = -2 \implies z = -1$.
Подставляем $z$ во второе уравнение: $2y - 2(-1) = 4 \implies 2y + 2 = 4 \implies 2y = 2 \implies y = 1$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое уравнение: $x - 1 + (-1) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Ответ: $x = 2, y = 1, z = -1$.

д) $ \begin{cases} x + y + z = 6, \\ 2x - 3y + 4z = 8, \\ -x + y - 3z = -8; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -3 & 4 & | & 8 \\ -1 & 1 & -3 & | & -8 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2 ($R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2$), и прибавим к третьей строке первую ($R_3 + R_1 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -5 & 2 & | & -4 \\ 0 & 2 & -2 & | & -2 \end{pmatrix} $
Разделим третью строку на 2 ($R_3 / 2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -5 & 2 & | & -4 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \end{pmatrix} $
Поменяем местами вторую и третью строки:
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & -5 & 2 & | & -4 \end{pmatrix} $
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 5 ($R_3 + 5R_2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -1 \\ 0 & 0 & -3 & | & -9 \end{pmatrix} $
Получаем систему:
$ \begin{cases} x + y + z = 6, \\ y - z = -1, \\ -3z = -9; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $z = 3$.
Подставляем $z$ во второе: $y - 3 = -1 \implies y = 2$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое: $x + 2 + 3 = 6 \implies x + 5 = 6 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1, y = 2, z = 3$.

е) $ \begin{cases} x - 2y + z = 4, \\ 2x + 3y - 4z = -5, \\ 3x - 4y - 5z = 2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 2 & 3 & -4 & | & -5 \\ 3 & -4 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} $
$R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2$ и $R_3 - 3R_1 \rightarrow R_3$:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 7 & -6 & | & -13 \\ 0 & 2 & -8 & | & -10 \end{pmatrix} $
Разделим третью строку на 2 ($R_3/2 \rightarrow R_3$) и поменяем ее местами со второй строкой:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -4 & | & -5 \\ 0 & 7 & -6 & | & -13 \end{pmatrix} $
Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 7 ($R_3 - 7R_2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -4 & | & -5 \\ 0 & 0 & 22 & | & 22 \end{pmatrix} $
Получаем систему:
$ \begin{cases} x - 2y + z = 4, \\ y - 4z = -5, \\ 22z = 22; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $z = 1$.
Подставляем $z$ во второе: $y - 4(1) = -5 \implies y = -1$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое: $x - 2(-1) + 1 = 4 \implies x + 2 + 1 = 4 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1, y = -1, z = 1$.

ж) $ \begin{cases} x - 2y + 3z = 9, \\ 3x + 2y - z = -1, \\ x + y + z = 2; \end{cases} $
Расширенная матрица системы:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 3 & 2 & -1 & | & -1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} $
$R_2 - 3R_1 \rightarrow R_2$ и $R_3 - R_1 \rightarrow R_3$:
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 8 & -10 & | & -28 \\ 0 & 3 & -2 & | & -7 \end{pmatrix} $
Разделим вторую строку на 2 ($R_2/2 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 4 & -5 & | & -14 \\ 0 & 3 & -2 & | & -7 \end{pmatrix} $
Вычтем из второй строки третью ($R_2 - R_3 \rightarrow R_2$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & -3 & | & -7 \\ 0 & 3 & -2 & | & -7 \end{pmatrix} $
Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 3 ($R_3 - 3R_2 \rightarrow R_3$):
$ \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & -3 & | & -7 \\ 0 & 0 & 7 & | & 14 \end{pmatrix} $
Получаем систему:
$ \begin{cases} x - 2y + 3z = 9, \\ y - 3z = -7, \\ 7z = 14; \end{cases} $
Из третьего уравнения: $z = 2$.
Подставляем $z$ во второе: $y - 3(2) = -7 \implies y - 6 = -7 \implies y = -1$.
Подставляем $y$ и $z$ в первое: $x - 2(-1) + 3(2) = 9 \implies x + 2 + 6 = 9 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1, y = -1, z = 2$.