Номер 316, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 316, страница 53.

Условие.

316. В один из дней каникул учащиеся класса, кроме нескольких оставшихся дома, отправились гулять. 12 учащихся — $ \frac{1}{3} $ всех девочек и $ \frac{1}{2} $ всех мальчиков — пошли в кино, а ещё 13 человек — $ \frac{1}{2} $ всех девочек и $ \frac{1}{3} $ всех мальчиков — пошли на выставку. Сколько учащихся этого класса осталось дома?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи введем переменные, чтобы обозначить общее количество девочек и мальчиков в классе.

Пусть $Д$ — это общее количество девочек в классе.

Пусть $М$ — это общее количество мальчиков в классе.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: 12 учащихся пошли в кино. Эта группа состояла из трети всех девочек ($\frac{1}{3}Д$) и половины всех мальчиков ($\frac{1}{2}М$). Запишем это в виде уравнения:

$\frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}М = 12$

Второе условие: 13 человек пошли на выставку. Эта группа состояла из половины всех девочек ($\frac{1}{2}Д$) и трети всех мальчиков ($\frac{1}{3}М$). Запишем второе уравнение:

$\frac{1}{2}Д + \frac{1}{3}М = 13$

Теперь у нас есть система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}М = 12 \\ \frac{1}{2}Д + \frac{1}{3}М = 13 \end{cases} $$

Чтобы найти общее число учащихся в классе ($Д + М$), мы можем сложить оба уравнения системы:

$(\frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}М) + (\frac{1}{2}Д + \frac{1}{3}М) = 12 + 13$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(\frac{1}{3}Д + \frac{1}{2}Д) + (\frac{1}{2}М + \frac{1}{3}М) = 25$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$(\frac{2}{6}Д + \frac{3}{6}Д) + (\frac{3}{6}М + \frac{2}{6}М) = 25$

$\frac{5}{6}Д + \frac{5}{6}М = 25$

Вынесем общий множитель $\frac{5}{6}$ за скобки:

$\frac{5}{6}(Д + М) = 25$

Теперь мы можем найти общее число учащихся в классе ($Д + М$):

$Д + М = 25 \div \frac{5}{6} = 25 \times \frac{6}{5} = 30$

Итак, всего в классе 30 учащихся.

Далее найдем, сколько всего учащихся отправились гулять. Для этого сложим количество ушедших в кино и на выставку:

$12 + 13 = 25$ учащихся.

Чтобы определить, сколько учащихся осталось дома, вычтем из общего числа учащихся в классе количество тех, кто ушел гулять:

$30 - 25 = 5$ учащихся.

Ответ: 5 учащихся этого класса остались дома.