Номер 312, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.9. Решение задач при помощи систем уравнений первой степени. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 312, страница 50.

Условие.

312. Старинная задача (Китай). В клетке было 35 фазанов и кроликов. Известно, что всего у них 94 ноги. Найдите число фазанов и число кроликов.

I способ. Представим, что в клетке сидят одни фазаны, тогда у них ног должно быть $2 \cdot 35 = 70$. Если одного фазана заменить на одного кролика, то число голов в клетке не изменится, а число ног увеличится на 2. Число ног в клетке надо увеличить на $94 - 70 = 24$. Следовательно, кроликов было $24 : 2 = 12$, тогда фазанов было $35 - 12 = 23$.

II способ. Пусть было $k$ кроликов, тогда фазанов было $35 - k$. У кроликов и фазанов вместе $4k + 2(35 - k)$ ног, что по условию задачи равно 94. Составим уравнение:

$4k + 2(35 - k) = 94$.

Решив это уравнение, получим $k = 12$. Следовательно, кроликов было 12, тогда фазанов было $35 - 12 = 23$.

III способ. Пусть было $f$ фазанов и $k$ кроликов. Составим два уравнения системы: $f + k = 35$ и $2f + 4k = 94$. Решим систему двух уравнений с неизвестными $f$ и $k$:

Решение.

Решение 2.

I способ.

Этот метод основан на логическом допущении. Представим, что все 35 животных в клетке — это фазаны. У каждого фазана по 2 ноги. В этом случае общее количество ног было бы: $35 \cdot 2 = 70$ ног.

Однако по условию задачи у животных 94 ноги. Найдем разницу между фактическим количеством ног и нашим предположением: $94 - 70 = 24$ ноги.

Эта разница в 24 ноги возникла из-за того, что некоторые из животных на самом деле кролики, а не фазаны. У кролика 4 ноги, а у фазана — 2. Когда мы мысленно заменяем одного фазана на одного кролика, общее число голов не меняется, а количество ног увеличивается на: $4 - 2 = 2$ ноги.

Чтобы найти количество кроликов, нужно общую "избыточную" разницу в ногах (24) разделить на разницу в ногах, которую дает одна замена (2): $24 : 2 = 12$ кроликов.

Теперь, зная число кроликов, можно найти число фазанов. Всего животных 35: $35 - 12 = 23$ фазана.

Ответ: В клетке было 23 фазана и 12 кроликов.

II способ.

Этот метод использует составление уравнения с одной переменной. Пусть $k$ — это количество кроликов. Поскольку всего животных 35, то количество фазанов будет равно $35 - k$.

Теперь составим уравнение, основываясь на общем количестве ног. У каждого кролика 4 ноги, а у каждого фазана — 2 ноги. Общее число ног равно 94. Сумма ног всех кроликов: $4k$. Сумма ног всех фазанов: $2(35 - k)$. Общее уравнение: $4k + 2(35 - k) = 94$.

Решим это уравнение, чтобы найти $k$:
$4k + 70 - 2k = 94$
$2k + 70 = 94$
$2k = 94 - 70$
$2k = 24$
$k = 12$.
Следовательно, в клетке было 12 кроликов.

Найдем количество фазанов: $35 - k = 35 - 12 = 23$ фазана.

Ответ: В клетке было 23 фазана и 12 кроликов.

III способ.

Этот метод заключается в решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Пусть $f$ — это количество фазанов, а $k$ — количество кроликов.

Составим первое уравнение, исходя из общего числа животных (голов): $f + k = 35$.

Составим второе уравнение, исходя из общего числа ног. У фазана 2 ноги, у кролика — 4: $2f + 4k = 94$.

Получили систему уравнений: $ \begin{cases} f + k = 35 \\ 2f + 4k = 94 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $f$: $f = 35 - k$. Подставим это выражение во второе уравнение: $2(35 - k) + 4k = 94$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$70 - 2k + 4k = 94$
$70 + 2k = 94$
$2k = 24$
$k = 12$.
Итак, в клетке 12 кроликов.

Подставим найденное значение $k = 12$ в выражение для $f$: $f = 35 - 12 = 23$.
Значит, в клетке 23 фазана.

Ответ: В клетке было 23 фазана и 12 кроликов.