Номер 310, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Потапов

10.8. Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными. Параграф 10. Системы линейных уравнений. Часть 2 - номер 310, страница 49.

Условие.

310. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases}2x - 12 = 0, \\x - 2y + 3z = 7, \\-x + 2y + 5z = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2y - 8 = 0, \\-x + y - 2z = 5, \\5x - 2y + 3z = -6.\end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 12 = 0, \\ x - 2y + 3z = 7, \\ -x + 2y + 5z = 1; \end{cases} $

1. Начнем с решения первого уравнения, так как оно содержит только одну переменную $x$:
$2x - 12 = 0$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2} = 6$

2. Теперь, когда мы знаем значение $x$, подставим его во второе и третье уравнения системы:
$ \begin{cases} 6 - 2y + 3z = 7, \\ -6 + 2y + 5z = 1; \end{cases} $
Это дает нам новую систему с двумя переменными, $y$ и $z$. Упростим ее:
$ \begin{cases} -2y + 3z = 7 - 6, \\ 2y + 5z = 1 + 6; \end{cases} $
$ \begin{cases} -2y + 3z = 1, \\ 2y + 5z = 7. \end{cases} $

3. Для решения этой системы используем метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений. Это позволит нам исключить переменную $y$:
$(-2y + 3z) + (2y + 5z) = 1 + 7$
$-2y + 2y + 3z + 5z = 8$
$8z = 8$
$z = \frac{8}{8} = 1$

4. Теперь подставим найденное значение $z=1$ в любое из уравнений системы с двумя переменными, например, в $2y + 5z = 7$:
$2y + 5(1) = 7$
$2y + 5 = 7$
$2y = 7 - 5$
$2y = 2$
$y = 1$

Таким образом, решение системы: $x=6, y=1, z=1$.
Проведем проверку, подставив значения в исходные уравнения:
1) $2(6) - 12 = 12 - 12 = 0$ (верно)
2) $6 - 2(1) + 3(1) = 6 - 2 + 3 = 7$ (верно)
3) $-(6) + 2(1) + 5(1) = -6 + 2 + 5 = 1$ (верно)

Ответ: $x=6, y=1, z=1$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2y - 8 = 0, \\ -x + y - 2z = 5, \\ 5x - 2y + 3z = -6. \end{cases} $

1. Начнем с решения первого уравнения, так как оно содержит только одну переменную $y$:
$2y - 8 = 0$
$2y = 8$
$y = \frac{8}{2} = 4$

2. Подставим найденное значение $y=4$ во второе и третье уравнения системы:
$ \begin{cases} -x + 4 - 2z = 5, \\ 5x - 2(4) + 3z = -6; \end{cases} $
Упростим полученную систему с двумя переменными, $x$ и $z$ :
$ \begin{cases} -x - 2z = 5 - 4, \\ 5x - 8 + 3z = -6; \end{cases} $
$ \begin{cases} -x - 2z = 1, \\ 5x + 3z = -6 + 8; \end{cases} $
$ \begin{cases} -x - 2z = 1, \\ 5x + 3z = 2. \end{cases} $

3. Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 5, чтобы воспользоваться методом сложения:
$5 \cdot (-x - 2z) = 5 \cdot 1 \implies -5x - 10z = 5$
Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($5x + 3z = 2$):
$(-5x - 10z) + (5x + 3z) = 5 + 2$
$-5x + 5x - 10z + 3z = 7$
$-7z = 7$
$z = \frac{7}{-7} = -1$

4. Подставим найденное значение $z=-1$ в уравнение $-x - 2z = 1$, чтобы найти $x$:
$-x - 2(-1) = 1$
$-x + 2 = 1$
$-x = 1 - 2$
$-x = -1$
$x = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=4, z=-1$.
Проведем проверку, подставив значения в исходные уравнения:
1) $2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$ (верно)
2) $-(1) + 4 - 2(-1) = -1 + 4 + 2 = 5$ (верно)
3) $5(1) - 2(4) + 3(-1) = 5 - 8 - 3 = -6$ (верно)

Ответ: $x=1, y=4, z=-1$.