Страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

149. Найдите многочлен, равный произведению многочленов:

а) $(x + 1)(x + 2) =$

б) $(x - 1)(x - 2) =$

в) $(x + 1)(x - 3) =$

г) $(x + 2)(x - 3) =$

д) $(2x - 1)(x + 2) =$

е) $(x - 3)(3x + 2) =$

ж) $(5x + 1)(5x - 1) =$

з) $(3x - 2)(3x + 2) =$

а) Чтобы найти произведение многочленов $(x + 1)$ и $(x + 2)$, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения.
$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2$
Теперь приведем подобные слагаемые ($2x$ и $x$):
$x^2 + (2x + x) + 2 = x^2 + 3x + 2$
Ответ: $x^2 + 3x + 2$

б) Умножим многочлены $(x - 1)$ и $(x - 2)$ почленно:
$(x - 1)(x - 2) = x \cdot x + x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^2 - 2x - x + 2$
Приведем подобные слагаемые ($-2x$ и $-x$):
$x^2 + (-2x - x) + 2 = x^2 - 3x + 2$
Ответ: $x^2 - 3x + 2$

в) Умножим многочлены $(x + 1)$ и $(x - 3)$ почленно:
$(x + 1)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) = x^2 - 3x + x - 3$
Приведем подобные слагаемые ($-3x$ и $x$):
$x^2 + (-3x + x) - 3 = x^2 - 2x - 3$
Ответ: $x^2 - 2x - 3$

г) Умножим многочлены $(x + 2)$ и $(x - 3)$ почленно:
$(x + 2)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6$
Приведем подобные слагаемые ($-3x$ и $2x$):
$x^2 + (-3x + 2x) - 6 = x^2 - x - 6$
Ответ: $x^2 - x - 6$

д) Умножим многочлены $(2x - 1)$ и $(x + 2)$ почленно:
$(2x - 1)(x + 2) = 2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = 2x^2 + 4x - x - 2$
Приведем подобные слагаемые ($4x$ и $-x$):
$2x^2 + (4x - x) - 2 = 2x^2 + 3x - 2$
Ответ: $2x^2 + 3x - 2$

е) Умножим многочлены $(x - 3)$ и $(3x + 2)$ почленно:
$(x - 3)(3x + 2) = x \cdot 3x + x \cdot 2 - 3 \cdot 3x - 3 \cdot 2 = 3x^2 + 2x - 9x - 6$
Приведем подобные слагаемые ($2x$ и $-9x$):
$3x^2 + (2x - 9x) - 6 = 3x^2 - 7x - 6$
Ответ: $3x^2 - 7x - 6$

ж) В данном случае можно применить формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 5x$ и $b = 1$.
$(5x + 1)(5x - 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$
Ответ: $25x^2 - 1$

з) Здесь также применяется формула "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a = 3x$ и $b = 2$.
$(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$
Ответ: $9x^2 - 4$

150. Запишите выражение в виде многочлена стандартного вида:

$x - (2x + 1)(x - 1) = x - (2x^2 + x - 2x - 1) = x - 2x^2 - x + 2x + 1 = -2x^2 + 2x + 1$

a) $3 + (2x + 3)(3x - 2) = $.........................

.........................

б) $3x - (2x - 1)(3x + 1) = $.........................

.........................

в) $x^2 - (x - 6)(x - 7) = $.........................

.........................

a) Чтобы записать выражение $3 + (2x + 3)(3x - 2)$ в виде многочлена стандартного вида, сначала выполним умножение многочленов в скобках, используя правило "каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого":
$(2x + 3)(3x - 2) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-2) + 3 \cdot 3x + 3 \cdot (-2) = 6x^2 - 4x + 9x - 6$.
Теперь приведем подобные слагаемые в полученном выражении: $6x^2 + (-4x + 9x) - 6 = 6x^2 + 5x - 6$.
Подставим результат обратно в исходное выражение:
$3 + (6x^2 + 5x - 6) = 3 + 6x^2 + 5x - 6$.
Приведем подобные слагаемые (константы) и запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной):
$6x^2 + 5x + (3 - 6) = 6x^2 + 5x - 3$.
Ответ: $6x^2 + 5x - 3$

б) Рассмотрим выражение $3x - (2x - 1)(3x + 1)$. Сначала перемножим многочлены в скобках:
$(2x - 1)(3x + 1) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 1 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 1 = 6x^2 + 2x - 3x - 1$.
Приведем подобные слагаемые: $6x^2 + (2x - 3x) - 1 = 6x^2 - x - 1$.
Теперь подставим результат в исходное выражение. Обратим внимание на знак "минус" перед скобками:
$3x - (6x^2 - x - 1)$.
Раскроем скобки, изменив знак каждого слагаемого внутри на противоположный:
$3x - 6x^2 + x + 1$.
Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде:
$-6x^2 + (3x + x) + 1 = -6x^2 + 4x + 1$.
Ответ: $-6x^2 + 4x + 1$

в) Преобразуем выражение $x^2 - (x - 6)(x - 7)$. Сначала перемножим многочлены в скобках:
$(x - 6)(x - 7) = x \cdot x + x \cdot (-7) - 6 \cdot x - 6 \cdot (-7) = x^2 - 7x - 6x + 42$.
Приведем подобные слагаемые: $x^2 + (-7x - 6x) + 42 = x^2 - 13x + 42$.
Подставим полученный многочлен в исходное выражение:
$x^2 - (x^2 - 13x + 42)$.
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:
$x^2 - x^2 + 13x - 42$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 13x - 42 = 0 + 13x - 42 = 13x - 42$.
Ответ: $13x - 42$

151. Упростите выражение:

a) $(x - 5)(x - 4) - (x - 6)(x - 3) = $

б) $(x + 6)(x - 4) - (x - 8)(x + 3) = $

в) $(x - 2)(x + 2) - (x - 1)(x + 1) = $

а) Для упрощения выражения $(x - 5)(x - 4) - (x - 6)(x - 3)$ необходимо раскрыть скобки в каждом произведении и затем привести подобные слагаемые.
Сначала раскроем первое произведение, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(x - 5)(x - 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) - 5 \cdot x - 5 \cdot (-4) = x^2 - 4x - 5x + 20 = x^2 - 9x + 20$.
Теперь раскроем второе произведение:
$(x - 6)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) - 6 \cdot x - 6 \cdot (-3) = x^2 - 3x - 6x + 18 = x^2 - 9x + 18$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(x^2 - 9x + 20) - (x^2 - 9x + 18)$.
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой (все знаки внутри меняются на противоположные):
$x^2 - 9x + 20 - x^2 + 9x - 18$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-9x + 9x) + (20 - 18) = 0 + 0 + 2 = 2$.
Ответ: $2$

б) Упростим выражение $(x + 6)(x - 4) - (x - 8)(x + 3)$.
Выполним умножение многочленов в каждой части выражения поочередно.
Первое произведение:
$(x + 6)(x - 4) = x^2 - 4x + 6x - 24 = x^2 + 2x - 24$.
Второе произведение:
$(x - 8)(x + 3) = x^2 + 3x - 8x - 24 = x^2 - 5x - 24$.
Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:
$(x^2 + 2x - 24) - (x^2 - 5x - 24) = x^2 + 2x - 24 - x^2 + 5x + 24$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (2x + 5x) + (-24 + 24) = 0 + 7x + 0 = 7x$.
Ответ: $7x$

в) Упростим выражение $(x - 2)(x + 2) - (x - 1)(x + 1)$.
В данном случае оба произведения представляют собой формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применим эту формулу к первой паре скобок:
$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Применим эту же формулу ко второй паре скобок:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(x^2 - 4) - (x^2 - 1)$.
Раскроем скобки:
$x^2 - 4 - x^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-4 + 1) = 0 - 3 = -3$.
Ответ: $-3$

319*. Докажите, что если два натуральных числа a и b при делении на натуральное число n имеют одинаковые остатки, то $a - b$ делится на n.

Доказательство. Пусть натуральное число a при делении на натуральное число n даёт остаток r, тогда существует натуральное число x, такое, что $a = x \cdot n + r$.

Доказательство.
Пусть натуральное число $a$ при делении на натуральное число $n$ дает неполное частное $q_1$ и остаток $r$. По определению деления с остатком, это можно записать в виде равенства:
$a = q_1 \cdot n + r$, где $q_1$ — целое неотрицательное число и $0 \le r < n$.

По условию, натуральное число $b$ при делении на $n$ дает тот же остаток $r$. Пусть неполное частное в этом случае равно $q_2$. Тогда для числа $b$ справедливо равенство:
$b = q_2 \cdot n + r$, где $q_2$ — целое неотрицательное число.

Найдем разность чисел $a$ и $b$, подставив в нее записанные выше выражения:
$a - b = (q_1 \cdot n + r) - (q_2 \cdot n + r)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a - b = q_1 \cdot n + r - q_2 \cdot n - r = q_1 \cdot n - q_2 \cdot n$

Теперь вынесем общий множитель $n$ за скобки:
$a - b = (q_1 - q_2) \cdot n$

Так как $q_1$ и $q_2$ являются целыми числами, их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Полученное равенство $a - b = (q_1 - q_2) \cdot n$ показывает, что разность $a - b$ является произведением целого числа $(q_1 - q_2)$ и натурального числа $n$. По определению делимости, это означает, что разность $a - b$ делится на $n$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку разность $a - b$ можно представить в виде $(q_1 - q_2) \cdot n$, где $q_1$ и $q_2$ — неполные частные от деления $a$ и $b$ на $n$ соответственно, а их разность $(q_1 - q_2)$ является целым числом, то по определению делимости $a - b$ делится на $n$.

320*. Докажите, что если разность двух натуральных чисел $a$ и $b$ делится на натуральное число $n$, то остатки при делении чисел $a$ и $b$ на $n$ равны.

Доказательство. Пусть $a - b$ делится на $n$ и пусть $a = x \cdot n + r$, $b = y \cdot n + p$, где $x, y, r, p$ — натуральные числа. Тогда

$a - b = x \cdot n + r - y \cdot n - p = (x - y) \cdot n + (r - p)$

делится на $n$ лишь при условии .........

Доказательство.

Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$, и пусть их разность $(a-b)$ делится на натуральное число $n$ без остатка. Нам нужно доказать, что остатки от деления $a$ на $n$ и $b$ на $n$ равны.

Согласно определению деления с остатком, любое натуральное число $a$ можно единственным образом представить в виде: $a = x \cdot n + r$, где $x$ — это неполное частное (целое неотрицательное число), а $r$ — это остаток от деления $a$ на $n$, причём $r$ является целым числом, удовлетворяющим условию $0 \le r < n$.

Аналогично представим число $b$: $b = y \cdot n + p$, где $y$ — неполное частное, а $p$ — остаток от деления $b$ на $n$, причём $0 \le p < n$.

Теперь найдём разность чисел $a$ и $b$, используя эти представления: $a - b = (x \cdot n + r) - (y \cdot n + p)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, как показано в задании: $a - b = x \cdot n + r - y \cdot n - p = (x \cdot n - y \cdot n) + (r - p) = (x - y) \cdot n + (r - p)$

По условию задачи, разность $(a - b)$ делится на $n$. Рассмотрим получившееся выражение $(x - y) \cdot n + (r - p)$. Первое слагаемое, $(x - y) \cdot n$, очевидно делится на $n$, поскольку является произведением целого числа $(x - y)$ и $n$.

Известно, что если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, и одно из слагаемых делится на это число, то и второе слагаемое также должно делиться на это число. В нашем случае, так как вся сумма $(a-b)$ делится на $n$ и слагаемое $(x-y) \cdot n$ делится на $n$, то и второе слагаемое, равное $(r-p)$, должно делиться на $n$.

Теперь рассмотрим, какие значения может принимать разность остатков $(r - p)$. Мы знаем, что остатки по определению удовлетворяют неравенствам: $0 \le r < n$ и $0 \le p < n$.

Чтобы найти границы для $(r-p)$, умножим второе неравенство на $-1$. При этом знаки неравенства изменятся: $-n < -p \le 0$.

Теперь сложим почленно неравенство для $r$ и преобразованное неравенство для $-p$: $0 + (-n) < r + (-p) < n + 0$, откуда получаем: $-n < r - p < n$

Итак, мы получили два условия для величины $(r-p)$:

1. Разность $(r-p)$ должна делиться на $n$.
2. Разность $(r-p)$ находится в интервале $(-n, n)$.

Единственное целое число в интервале от $-n$ до $n$ (не включая концы), которое делится на $n$, — это число 0. Следовательно, должно выполняться равенство $r - p = 0$, что означает $r = p$.

Таким образом, мы доказали, что остатки от деления чисел $a$ и $b$ на $n$ равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: в выражении $a-b = (x-y) \cdot n + (r-p)$, которое по условию делится на $n$, слагаемое $(x-y) \cdot n$ также делится на $n$. Это возможно лишь при условии, что второе слагаемое, разность остатков $(r-p)$, тоже делится на $n$. Учитывая, что остатки $r$ и $p$ удовлетворяют неравенствам $0 \le r < n$ и $0 \le p < n$, их разность $(r-p)$ находится в интервале $-n < r-p < n$. Единственное целое число в этом интервале, кратное $n$, — это 0. Следовательно, $r-p=0$, а значит, $r=p$.

321*. Пусть $S(x)$ — сумма цифр натурального числа $x$. Вычислите:

a) $S(2017) = 2 + 0 + 1 + 7 = \dots$

б) $S(2018) = \dots$

в) $S(2019) = \dots$

г) $S(2020) = \dots$

д) $S(30405) = \dots$

е) $S(99999) = \dots$

ж) $S(123456789) = \dots$

а) $S(2017)$ — это сумма цифр числа 2017. Цифры этого числа: 2, 0, 1, 7. Найдем их сумму, как показано в условии:

$S(2017) = 2 + 0 + 1 + 7 = 10$.

Ответ: 10

б) $S(2018)$ — это сумма цифр числа 2018. Цифры этого числа: 2, 0, 1, 8. Найдем их сумму:

$S(2018) = 2 + 0 + 1 + 8 = 11$.

Ответ: 11

в) $S(2019)$ — это сумма цифр числа 2019. Цифры этого числа: 2, 0, 1, 9. Найдем их сумму:

$S(2019) = 2 + 0 + 1 + 9 = 12$.

Ответ: 12

г) $S(2020)$ — это сумма цифр числа 2020. Цифры этого числа: 2, 0, 2, 0. Найдем их сумму:

$S(2020) = 2 + 0 + 2 + 0 = 4$.

Ответ: 4

д) $S(30 405)$ — это сумма цифр числа 30 405. Цифры этого числа: 3, 0, 4, 0, 5. Найдем их сумму:

$S(30 405) = 3 + 0 + 4 + 0 + 5 = 12$.

Ответ: 12

е) $S(99 999)$ — это сумма цифр числа 99 999. Число состоит из пяти цифр 9. Найдем их сумму:

$S(99 999) = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 5 \times 9 = 45$.

Ответ: 45

ж) $S(123 456 789)$ — это сумма цифр числа 123 456 789. Цифры этого числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Найдем их сумму:

$S(123 456 789) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$.

Это сумма арифметической прогрессии, которую можно вычислить по формуле $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, где $n=9$, $a_1=1$, $a_n=9$:

$\frac{9 \times (1 + 9)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Ответ: 45