Страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Потапов

146. Для положительных чисел a, b и с равенство

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

можно проиллюстрировать с помощью вычисления площади прямоугольника двумя способами:

$(a + b) \cdot c$ — площадь прямоугольника ABCD, $a \cdot c$ и $b \cdot c$ — площади прямоугольников ABMN и NMCD соответственно (рис. 8).

Придумайте иллюстрацию равенства

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

для положительных чисел $a, b, c$ ($a > b$).

Рис. 8

Для иллюстрации равенства $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ для положительных чисел $a, b, c$ при условии $a > b$ можно воспользоваться геометрическим методом, основанным на вычитании площадей прямоугольников.

Рассмотрим большой прямоугольник, назовем его $PQRS$, со сторонами $PQ = a$ и $PS = c$. Его площадь, $S_{PQRS}$, равна произведению его сторон:

$S_{PQRS} = a \cdot c$

Так как по условию $a > b$, на стороне $PQ$ можно отметить точку $M$ таким образом, чтобы длина отрезка $MQ$ была равна $b$. Тогда длина оставшегося отрезка $PM$ будет равна $a - b$.

Теперь проведем через точку $M$ отрезок $MN$, параллельный стороне $PS$, до пересечения со стороной $SR$ в точке $N$. Этот отрезок разделит большой прямоугольник $PQRS$ на два меньших прямоугольника: $PMSN$ и $MNRQ$.

• Прямоугольник $MNRQ$ имеет стороны $MQ = b$ и $MN = c$. Его площадь $S_{MNRQ}$ равна $b \cdot c$.
• Прямоугольник $PMSN$ имеет стороны $PM = a - b$ и $PS = c$. Его площадь $S_{PMSN}$ равна $(a - b) \cdot c$.

Площадь прямоугольника $PMSN$ можно найти двумя способами.

1. Напрямую, как произведение его сторон: $S_{PMSN} = (a - b) \cdot c$.

2. Как разность площадей: площадь $PMSN$ равна площади всего прямоугольника $PQRS$ минус площадь "отрезанного" прямоугольника $MNRQ$.

$S_{PMSN} = S_{PQRS} - S_{MNRQ}$

Подставив известные значения площадей, получим:

$S_{PMSN} = a \cdot c - b \cdot c$

Поскольку оба выражения описывают площадь одного и того же прямоугольника $PMSN$, мы можем их приравнять:

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Таким образом, мы геометрически проиллюстрировали данное равенство, представив площадь прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $c$ как разность площадей большого прямоугольника ($a \times c$) и малого ($b \times c$).

Ответ:

Иллюстрацией равенства $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$ (где $a > b$) служит вычисление площади прямоугольника двумя способами. Для этого строится большой прямоугольник со сторонами $a$ и $c$, его площадь равна $a \cdot c$. От этого прямоугольника "отрезается" меньший прямоугольник с общей стороной $c$ и другой стороной $b$, его площадь равна $b \cdot c$. Оставшаяся фигура также является прямоугольником, его стороны равны $(a - b)$ и $c$, а площадь, соответственно, $(a - b) \cdot c$. С другой стороны, площадь этой оставшейся фигуры можно вычислить как разность площадей большого и "отрезанного" прямоугольников: $a \cdot c - b \cdot c$. Приравнивая два полученных выражения для площади оставшейся фигуры, получаем искомую иллюстрацию тождества: $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

147. Вася написал на листке два противоположных многочлена. Петя их не видел, но утверждает, что знает, чему равна их сумма. Прав ли Петя? Чему равна эта сумма?

Прав ли Петя?

Да, Петя абсолютно прав. По определению, два многочлена являются противоположными, если один из них можно получить из другого умножением на $-1$. Иными словами, все коэффициенты одного многочлена имеют противоположные знаки по сравнению с соответствующими коэффициентами другого.

Пусть первый многочлен, который написал Вася, будет $P$. Тогда второй, противоположный ему многочлен, будет равен $-P$. Их сумма будет равна: $P + (-P) = P - P = 0$.

Этот результат (сумма, равная нулю) является постоянной величиной и никак не зависит от того, какой именно многочлен $P$ выбрал Вася. Например:

• Если Вася написал $P = 5x^2 - 3x + 1$, то противоположный многочлен равен $-P = -5x^2 + 3x - 1$. Их сумма: $(5x^2 - 3x + 1) + (-5x^2 + 3x - 1) = 0$.
• Если Вася написал $P = a - b$, то противоположный многочлен равен $-P = -a + b$. Их сумма: $(a - b) + (-a + b) = 0$.

Поскольку результат сложения всегда один и тот же, Петя может знать его, не видя самих многочленов, а зная лишь их ключевое свойство — то, что они противоположны.

Ответ: Да, Петя прав.

Чему равна эта сумма?

Как было показано выше, сумма двух противоположных многочленов по определению всегда равна нулю. Если один многочлен — это $A$, то противоположный ему — это $-A$. Их сумма $A + (-A)$ всегда будет равна 0.

Ответ: 0.

148. Придумайте два противоположных многочлена, убедитесь, что их сумма равна $0$.

Два многочлена называются противоположными, если их сумма равна нулю. Это означает, что для любого многочлена $P$ противоположным ему будет многочлен $-P$, у которого все коэффициенты имеют противоположный знак.

Придумаем произвольный многочлен, например:

$P_1 = 5a^3 - 2ab + 4b^2 - 7$

Чтобы найти противоположный ему многочлен $P_2$, нужно изменить знак каждого его члена на противоположный:

$P_2 = -(5a^3 - 2ab + 4b^2 - 7) = -5a^3 + 2ab - 4b^2 + 7$

Теперь убедимся, что их сумма равна 0. Для этого сложим многочлены $P_1$ и $P_2$:

$P_1 + P_2 = (5a^3 - 2ab + 4b^2 - 7) + (-5a^3 + 2ab - 4b^2 + 7)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(5a^3 - 5a^3) + (-2ab + 2ab) + (4b^2 - 4b^2) + (-7 + 7) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Сумма многочленов действительно равна 0, следовательно, они являются противоположными.

Ответ: Например, многочлены $5a^3 - 2ab + 4b^2 - 7$ и $-5a^3 + 2ab - 4b^2 + 7$ являются противоположными.

318*.: Вычислите:

а) $\text{НОД}(340; 48);$

б) $\text{НОД}(632; 56).$

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел используется алгоритм Евклида. Суть метода заключается в последовательном делении большего числа на меньшее с остатком. Затем делитель заменяется остатком, и процесс повторяется до тех пор, пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и является НОД.

а) НОД (340; 48)

1. Разделим большее число 340 на меньшее 48 с остатком:

$340 = 48 \cdot 7 + 4$

Остаток от деления равен 4.

2. Теперь разделим предыдущий делитель 48 на полученный остаток 4:

$48 = 4 \cdot 12 + 0$

Остаток равен 0. Алгоритм завершен. Последний ненулевой остаток — это 4. Следовательно, он и является наибольшим общим делителем.

Ответ: 4

б) НОД (632; 56)

1. Разделим 632 на 56 с остатком:

$632 = 56 \cdot 11 + 16$

Остаток от деления равен 16.

2. Теперь разделим предыдущий делитель 56 на остаток 16:

$56 = 16 \cdot 3 + 8$

Остаток от деления равен 8.

3. Продолжим, разделив предыдущий делитель 16 на новый остаток 8:

$16 = 8 \cdot 2 + 0$

Остаток равен 0. Алгоритм завершен. Последний ненулевой остаток — это 8. Это и есть искомый НОД.

Ответ: 8